1 連續周期信號的傅里葉分解

信號的正交分解 -- 在區間上的任意能量有限信號f（t）可以用正交函數集合 中的函數的線性組合來近似表示：

式中：表示正交函數集中的函數，系數可以利用最小均方誤差準則求解：

常用的完備正交函數集：

三角函數集{}

復指數函數集{}

信號在這兩個函數集中分解得到的級數叫做傅里葉級數，周期信號進行傅里葉分解應該滿足狄利克雷條件：

在一個周期內滿足絕對可積

在一個周期內有有限個極大值和極小值

在一個周期內有有限個第一類間斷點

三角傅里葉級數設f（t）為一周期為T的周期信號，且滿足狄氏條件，則f（t）在區間可分解為：

式中：

T為信號周期，為基波頻率（看作整體一項）。

寫作余弦形式：

式中：

為偶函數，為奇函數。

指數傅里葉級數設f（t）為一周期為T的周期信號，且滿足狄氏條件，則f（t）在區間可分解為：

式中：

指數傅里葉級數中負頻率的出現是數學處理的結果。

復振幅表示式中，表示n次諧波分量的復振幅。

2 連續非周期信號的傅里葉變換周期信號的頻譜具有離散性，非周期信號的頻譜變為連續譜。

非周期信號傅里葉變換存在的充分條件是信號滿足絕對可積，即：

正變換：

反變換：

與周期信號相比，中自變量連續取值，而離散取值，且滿足：

若信號不滿足絕對可積條件，其傅里葉變換就不存在，此時拉普拉斯變換適用，略。

3 周期序列的離散傅里葉級數（DFS）時域的周期造成頻域的離散，時域的離散造成頻域的周期延拓，因此周期序列的DFS也是離散的周期序列。

周期序列：

式中，r為任意整數，N為周期。DFS正變換：

DFS反變換：

式中，從DFS計算中可以看出，周期序列的DFS也是周期為N的離散序列，周期序列的DFS也具有無限個頻率，僅有N個不同幅值。

4 離散傅里葉變換（DFT）長度為N的序列x（n）可以看作：

式中，表示長度為N的單位矩形序列。叫做的主值序列。DFT正變換：

DFT反變換：

從DFT的計算中可以看出，DFT的結果對應DFS一個周期的序列值。