1 連續時間信號頻域分析

1）周期信號的傅里葉級數

① 三角形式的傅里葉級數：

② 指數形式的傅里葉級數：

其中，傅里葉級數為

傅里葉級數ak其實也是權重，可以用于合成信號（合成效果和諧波次數N有關，N越大越接近原信號），合成公式：

2）非周期信號的傅里葉變換

① 傅里葉變換：

② 傅里葉逆變換：

3）周期信號的頻譜是離散的，非周期信號的頻譜是連續的；

離散信號的頻譜是周期的，連續信號的頻譜是非周期的。

2 通過離散時間信號的Z變換表達式X(z)直接寫出時域離散信號（序列）x(n)的方法

因此X(z)的系數即序列x(n)的值（只有離散時間信號即序列可以不用計算直接寫！）

例：

對應的x1(n)為：

注意是從高次冪到低次冪排列，原點即z^0的系數。但是對應的n1 = [0:2]是從小到大排列（注意原點位置）

3 部分分式法的MATLAB實現（求X(z)的部分展開式）

1）函數與格式：[r,p,k] = residuez(b,a)

2）用法：設返回參數r,p,k分別是：

則

注意同一個極點p3出現了兩次，說明是二重極點

3）用于數字濾波器的并聯型是通過系統函數（傳遞函數）H(z)的部分展開式實現的，所以該函數也可以用于實現數字濾波器的并聯型

4）用residuez實現數字濾波器的并聯型時，由于輸出的r,p可能會有共軛復系數，需要轉換成實數：

[b1,a1] = resideuz(R1,P1,0)

4 穩定系統

1）定義：當輸入序列是有界的，則輸出序列也有界，稱系統是穩定的。

2）判斷：

① 通過零極點的分布來判斷：（對于因果系統）

穩定：H(z)的全部極點都落在單位圓內，即收斂域應該包含單位圓在內

臨界穩定：一階極點位于單位圓上（若有其他階的，都在單位圓內），單位圓外無極點

不穩定：有極點落在單位圓外，或者單位圓上有重極點

5 求頻響特性（系統函數H與對應的頻點w）

1）函數與格式：[H,w] = freqz(b,a,N)

2）用法：輸入b和a分別為系統函數H(z)的分子和分母系數矩陣，N為正整數，默認為512；

輸出w包含了0-pi范圍內的N個頻率等分點，H是w對應的值

3）也可以通過手算出系統函數H(exp(j*w))實現

6 求離散系統的響應（求出某輸入信號通過該系統得到的輸出）

1）函數與格式：y = filter(b,a,Xn)

2）用法：實現差分方程的求解，因此這個只能用于離散系統（連續系統對應微分方程）求響應。其中b和a分別是差分方程的輸出y和輸入x的系數，Xn是輸入信號，y是通過該系統的輸出信號

3）當輸入信號Xn為單位沖激信號（即單位脈沖信號）或單位階躍信號時，可以用該函數求系統的單位沖激響應（即單位脈沖響應）或單位階躍響應。

7 求系統的單位沖激響應

1）可以通過上面的filter函數求

2）函數與格式：y = impz(b,a,N)

3）用法：b和a同上，N表示沖激響應輸出的序列個數，輸出y是N個時域點對應的響應值。如果直接輸出impz(b,a,N)可以直接畫圖，不用stem([0:N-1],y)

8 求系統的零極點

1）函數與格式：[z,p,k] = tf2zp(b,a)

2）用法：其中輸入參數b是系統函數H(z)中分子的系數向量，a是分母的系數向量。輸出的z為零點，p為極點，k為常數

3）也可以用roots函數分別求分子和分母的方程根，來求出系統的零極點

9 將零極點增益表示的H(z)轉換成基本二階形式

1）函數與格式：sos = zp2sps(z,p,k)

2）用法：其中z是零點，p是極點，k是常數項，輸出的sos是矩陣：

對應的系統函數為（這只寫出了某一行，多行的要相乘）：

（注意這里的a就是分母的系數，寫成系統函數時直接代數相加即可，但是在畫圖時級聯型中的a是需要改變符號的）

3）由于數字濾波器的級聯型是通過H(z)的基本二階形式實現的，所以該函數也可以用于實現級聯型

10 周期/非周期、連續/離散信號的傅里葉變換/傅里葉級數/DFT小結

11 加窗對信號頻譜分析的影響

1）如果窗的寬度越大，即時間序列截取的越長，其頻譜的旁瓣占的比例越小。當窗口寬度無限大時，即截取所有的時間序列，則只有主瓣，沒有旁瓣。

2）頻譜泄露是不可避免的，因為任何窗函數都不可能滿足寬度無限大。但是選擇好的窗函數，可以盡可能減少能量的泄露。

3）好的窗函數，是窗函數的頻譜盡可能衰減的快，即主瓣和旁瓣的比例盡可能大。

12 fft中的點數L（即頻域抽樣的點數）的大小對頻譜分析的影響

補零對原信號來說并沒有增加任何信息，但是補零相當于對原信號的頻譜做插值（時域增加采樣點的個數，頻域中頻譜分辨率減小），能夠減少頻譜泄露。

13 各種窗函數的產生

1）三角窗：bartlett、triang

2）布萊克曼窗：blackman

3）矩形窗：boxcar

4）漢明窗：hamming

5）漢寧窗：hanning

6）切比雪夫窗：chebwin

7）凱塞窗：kaiser

16 比較FIR濾波器的兩種設計步驟的優缺點

1）窗函數法

2）頻率采樣法

19 簡述常用的IIR數字濾波器的設計方法

21 簡述由模擬濾波器轉換為IIR數字濾波器的兩種常用變換方法的優缺點

1）脈沖響應不變法：

補充：脈沖響應不變法存在頻譜混疊現象的原因是：數字濾波器頻響是模擬濾波器頻響的周期延拓。解決辦法：

2）雙線性變換法：

優點：通過實現Z平面到S平面的映射，解決了脈沖響應不變法的混疊失真問題

缺點：頻率之間的非線性變換問題，會產生新的問題：

1）一個線性相位的模擬濾波器經雙線性變換后得到非線性相位的數字濾波器，不再保持原有的線性相位了。

2）這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數型的，不然變換所產生的數字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變。

17 脈沖響應不變法設計IIR數字濾波器的步驟

18 雙線性變換法設計IIR數字濾波器的步驟

19 簡述模擬濾波器轉換為數字濾波器的要求和步驟

20 簡述巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器的比較

21 簡述巴特沃斯型模擬低通濾波器設計步驟

巴特沃斯型：

切比雪夫型：

原文鏈接：

https://blog.csdn.net/Dabie_haze/article/details/105853124