-----1億是1千萬的10倍？-----

早期筆者使用矩量法求解線性方程組，在不使用快速多級方法，自由度達到3萬時，臺式機上已經無法求解出，8G的機器內存不夠用。對于滿秩矩陣的線性方程組，常規求解方法時間復雜度為n^3(n的3次方)。

對于自由度1千萬以下稀疏矩陣的求解，好的臺式機基本能應付，而當自由度達到1億的時候，簡單的將硬件乘以10倍完全不能滿足要求。因為計算的空間復雜度，時間復雜度并不是線性，通常是NlogN，N^2或者更高。當自由度達到1億時，不僅需要對硬件核心部件CPU，內存擴容，而且在磁盤陣列，I/O，并發計算，GPU，網絡，帶寬等方面都提出了更苛刻的要求。

在算法方面看，減少網格密度，在物理量梯度大的地方加密，無變化的地方將網格變稀疏，可以有效減少計算量；另外優化求解算法本身，使其更加易于并行化計算。

從目前來看，計算機硬件計算能力的更新速度，跟不上指數級求解規模的增加速度。這也是量子力學發展的最大推動力！

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針對該問題，本文稍微展開一下。

這里的1億，主要指仿真中最終求解線性方程組的自由度個數，就是剛度矩陣的規模，即在方程Kx=b中，K的規模為1億*1億的方陣。

從硬件角度看，性能瓶頸首先在內存。目前臺式機的內存普遍在64G以下。對于1千萬的稀疏矩陣，存儲勉強夠用，加上計算，一般都不夠用，在windows系統上如果內存不夠用，會啟用虛擬內存，也就是用頁面交換把硬盤當內存使用，頻繁讀寫磁盤，這時候性能會大大降低。而對于1億自由度的矩陣，可能剛度矩陣組裝都不夠用。對于一億自由度的矩陣，首先要保證內存能夠存儲，一般的方法是使用具有超大內存的工作站服務器。

內存問題解決后，再就是CPU性能。前面講過，通常矩陣計算的空間復雜度，時間復雜度并不是線性，而是NlogN，N^2或者更高。使用單核單線程，耗費的時間是條曲線上升趨勢。雖然稀疏矩陣采用了CSR等方法壓縮數據，但自由度的平方數據仍然還是海量數據。現在的CPU普遍多核多個邏輯線程。這也要求在進行迭代法求解方程組時，合理的進行矩陣分解，參考一篇文章入門仿真軟件性能優化，采用分治的方法適應硬件的需求。

這里需要注意的是單核CPU的性能以及CPU的數量。根據實際情況進行分治！

在滿足了單機CPU運行之后，再就是集群分布式計算。采用多臺計算設備，比如刀片等專業服務器，超算等等，這里需要考量的是負載均衡和網絡帶寬，即保證單臺設備的利用率和整體進度保持一致。對于超大量的計算，最好能軟件實現動態規劃，對于頻繁交換數據的計算，要注意網絡帶寬的瓶頸。

再從軟件方面來看，根據筆者的研發經驗，相當一部分仿真的性能問題可以通過軟件以及改進算法解決。在前處理中，盡量避免軟件中高頻操作，大數據拷貝，大量細小數據操作等。如果必須有，對操作進行采樣性能評估，保證在可接受范圍內。在求解線性方程組前，提取矩陣特征，盡可能在最細度上根據矩陣特征，同時結合模型和業務的特點，選取最合適的求解方法。

其實目前對于數值計算方法而言，其算法都是公開透明的，商業軟件之間真正較量的是業務模型的準確性，算法的穩定性以及效率。而這也恰恰是每個軟件可以改進和提升的地方

2004年，ANSYS解出了1億自由度的模型，2008年，ANSYS解出了10億自由度的模型。即使現在來看，我們認為自由度超過1千萬的模型是個大模型，所以1億自由度的模型仍然可以認為是超大模型，且只能在超大的服務器上運行，可以想象，隨著硬件的提升和算法的改進，實際應用中會有越來越多的超1億自由度的模型求解。

回到開始的問題，“一億”是“一千萬”的十倍嗎？顯然不是。

最后還是以業內的一句話作為結束語：

“如果你的仿真還沒有受到硬件的限制，那說明你的仿真還沒有入門”。

編輯：fqj