由串聯電感器和并聯電容器組成的結構介紹

在本文中，您會發現重點關注串聯電感器，其中介紹了由串聯電感器和并聯電容器組成的梯形低通濾波器結構。

對于沒有互通量耦合的串聯電感，其電氣效應類似于串聯電阻，各個電感值簡單地相加。

圖 1. 串聯電感的等效電感。圖片由 Blaine Geddes 提供

推導

串聯電感的等效電感很容易從第一原理（基本電路理論）推導出來，如圖 2 所示。電感的特點是其兩端產生的電壓是其自感和流過它的電流的變化。由于公共電流流過該串聯電路的所有元件，因此所有串聯元件的電流變化率相同。共同的 di/dt 項抵消，導致等效電感是各個電感的總和。

圖 2. 串聯電感等效電感的推導。圖片由 Blaine Geddes 提供

LR電路的時間常數

在這篇 EE Power文章中，展示了圖 3 的基本示例電路，其微分方程的解被發現為：

i=VR?VRe?RtLi=VR?VRe?RtL［1］

在時間 t=0 時，開關閉合，但 i = 0，因為電感器看起來像一個無限阻抗，以響應理想化的電流瞬時增加。由于理想電感器在零頻率下沒有阻抗，因此電流根據指數函數斜升以在直流電路的 V/R 值處達到穩定狀態。方程［1］的微分方程滿足這些邊界條件。

表征基本 RL 或 RC 電路的常用參數是其時間常數，其定義為某個量達到其最終值的 1/e 以內的值或最終值的約 63% 的時間。對于等式［1］，電流的指數上升如圖 4 所示，時間常數為 L/R。

圖 3. 帶有串聯電阻的電感器的直流瞬態分析。圖片由 Blaine Geddes 提供

圖 4. 等式 1 針對 V=2、R=2、L=1 繪制。時間常數為 L/R = 0.5。圖片由 Blaine Geddes 提供

串聯電感的應用

串聯電感最常用于限制浪涌電流，例如電機啟動的浪涌電流，以抑制高頻信號，例如，抑制高頻開關信號泄漏到電源軌上，或用作扼流圈限制來自整流交流電的直流電源的紋波。電感器還用于調諧電路、集總元件濾波器設計和阻抗匹配，以消除離散頻率下的容抗。

電感器是一種有效的電流浪涌抑制器，因為它會在其兩端產生一個電壓，該電壓與流過它的電流變化率成正比。因此，電流的瞬時變化與趨于無窮大的反電動勢相反。電感器的理想模型是它代表電流瞬時變化的開路。在現實世界中，零時間間隔內什么都沒有發生，所以即使是理想的電感器也不能在實際電路中產生無限大的電壓，但如果突然中斷通過電感器的大穩態電流，它可以產生非常高的電壓。

過濾器

電感器和電容器可以組合形成一個基本濾波器。濾波器在整個電氣工程中都很重要，并且大量用于通信電路，尤其是無線電。盡管隨著通信電子設備越來越多地轉向數字領域，模擬集總元件濾波器的重要性正在減弱，但模擬濾波器仍然很重要。濾波器還用于音頻電路、控制系統和電源，用于過濾紋波和諧波。

一個簡單的兩元件低通濾波器及其傳遞函數的推導如圖 5 所示。交換電感器和電容器的位置會產生高通響應。

圖 5. 兩元件 LC 低通濾波器及其傳遞函數。圖片由 Blaine Geddes 提供

繪制圖 5 的電壓傳遞函數與頻率的關系圖可得到圖 6 的代表性圖，其中 R、L 和 C 均設置為 1。生成該圖的代碼如下所示：

C=1；

Rl=1；

Rs=1；

L=1；

j=sqrt（-1）;

f=0.01:0.01:1；

Zl = 1./（j.*2.*pi.*f.*C + 1./Rl）;

Z = Rs + j.*2.*pi.*f.*L + Zl；

vl_vs = 20.*log10（abs（Zl./Z））+6;

情節（f，vl_vs）；

網格

xlabel（‘頻率（Hz）’）

ylabel（‘幅度響應（dB）’）

圖 6. 圖 5 的二元低通濾波器傳遞函數的幅度響應。圖片由 Blaine Geddes 提供

具有串聯電感器和并聯電容器的基本兩元件低通 LC 濾波器的概念可以擴展到圖 7 的標準梯形結構。

圖 7. 低通 LC 梯形網絡。圖片由 Blaine Geddes 提供

分析集總元素梯形網絡原則上很簡單，但是對于多個元素，代數很快就會變得笨拙。除了幾個元素之外，手動計算將變得不切實際，但基本代數計算簡單且易于編程。上面顯示的基本 MATLAB 代碼可以很容易地擴展，以繪制更大梯形結構的響應。MATLAB 等數學軟件可以通過隱式完成極坐標到矩形的轉換來處理復數，從而簡化了代碼。合成梯形結構以產生特定響應在數學上涉及更多，并且遠遠超出了本文的范圍，但濾波器對于電氣工程來說是如此的基礎，以至于該主題已經通過關于該主題的整篇文章進行了很好的研究。

對于圖 7 的梯形結構，通常實現兩種標準濾波器類型。這些被稱為巴特沃斯和切比雪夫（或切比雪夫）濾波器。巴特沃斯濾波器響應的特點是通帶響應基本平坦，但在通帶上限處有一些衰減。Chebyschev 濾波器的特點是滾降比 Butterworth 濾波器更陡峭，但其代價是通帶中的紋波，紋波幅度取決于所選的組件值。隨著頻率的增加，兩種濾波器類型都提供單調增加的衰減。

濾波器表可用于濾波器設計，其中針對給定濾波器階數和最大通帶衰減選擇列出歸一化組件值。通帶中的最大衰減位于巴特沃斯濾波器的上通帶邊緣，并且在切比雪夫濾波器的通帶中表現為波紋。這樣的一組表格在參考文獻 1 中公布。元件值被歸一化為一些源電阻和截止頻率。對于參考表 1，這是 1 Hz 和 1 ohm。任何其他截止頻率（F ref ）和源電阻（R ref ）的分量值通過縮放獲得，其中：

L參考= R參考/2πF參考

Cref = 1/（2πF參考 R參考）

然后將每個列表組件值乘以 L ref 或 C ref 以獲得各自的實際 L 和 C 值。

通過交換梯形結構中的電感器和電容器，可以將低通濾波器的列表值用于具有反向頻率響應的等效高通濾波器。

第三種標準濾波器響應是橢圓濾波器的響應。與 Chebyshev 和 Butterworth 低通濾波器隨著頻率的增加而單調增加的衰減行為不同，橢圓濾波器的特征在于阻帶衰減本底，在通帶和阻帶中都有紋波。橢圓濾波器的優點是它為給定的濾波器階數提供最陡峭的滾降。代價是一個更復雜的濾波器結構，其中圖 7 的基本低通階梯被修改為圖 8 或圖 9 的。與切比雪夫和巴特沃斯濾波器一樣，將參考低通橢圓濾波器轉換為等效高通濾波器需要互換L 和 C 分量。