有源濾波器中的低通和高通響應的計算和相移分析

本文旨在考察濾波器傳遞函數本身的相位偏移。雖然濾波器主要是針對幅度響應而設計的，但在延時仿真、級聯濾波器級，特別是過程控制環路等應用中，相位響應可能非常重要。

本文將集中探討低通和高通響應。我們先來回顧一下，有源濾波器的傳遞函數可以視為濾波器傳遞函數和放大器傳遞函數的級聯響應（圖1）。

圖1.作為兩個傳遞函數級聯的濾波器

首先，我們將重新考察一下傳遞等式的相位響應。

對于單極點低通情況，傳遞函數的相移為：

在等式中，？表示弧度頻率（=2πf弧度/秒;1 Hz=2π弧度/秒），表示濾波器上的弧度中心頻率。中心頻率也可稱為截止頻率。就相位而言，中心頻率指相移處于其范圍50%時的頻率。由于弧度頻率當作一個比率使用，因此，頻率比（f/fo）可以方便地替代。

圖2（左軸）在中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程的范圍內對等式1進行了評估。由于單極點低通的相移范圍為90°（0°至90°），因此，中心頻率的相移為–45°。當時，歸一化中心頻率為1。

圖2.單極點低通濾波器（左軸）和高通濾波器（右軸）在中心頻率為1時的相位響應。

類似地，單極點高通濾波器的相位響應計算公式為：

圖2（右軸）在中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程的范圍內對等式2進行了評估。中心頻率（= 1）的相移為+45°。

如果低通通帶定義為低于截止頻率的頻率，高通通帶定義為高于中心頻率的頻率，注意，最低相移（0°至45°）處于通帶中。相反，最高相移（45°至90°）出現在阻帶中（高于低通截止頻率和低于高通截止頻率的頻率）。

在低通情況下，濾波器的輸出落后于輸入（負相移）;在高通情況下，輸出先于輸入（正相移）。圖3展示的是下列波形：輸入正弦波信號（中部軌跡）、1 kHz截止單極點高通濾波器輸出（頂部軌跡）和1 kHz截止單極點低通濾波器輸出（底部軌跡）。信號頻率也為1 kHz——兩個濾波器的截止頻率。45°的波形超前和滯后情況顯而易見。

圖3.單極點高通濾波器（頂部軌跡）和低通濾波器（底部軌跡）的輸入（中部軌跡）和輸出。

對于二階低通情況，傳輸函數的相移近似值為：

圖4（左軸）在中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程的范圍內對該等式（= √2 = 1.414）進行了評估。此處，中心頻率為1，相移為-90°。

圖4.雙極點低通濾波器（左軸）和高通濾波器（右軸）在中心頻率為1時的相位響應。

在等式3中，（濾波器的阻尼比）為Q的倒數（即Q=1/α）。它決定著幅度（和瞬態）響應的幅度峰值以及相變的銳度。α為1.414時，表示雙極點巴特沃茲（最平坦）響應。

雙極點高通濾波器的相位響應可通過下式計算其近似值：

圖4（右軸）對該式進行了評估，其中，=1.414，范圍為中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程。中心頻率（= 1）的相移為90°。

圖2和圖4采用的是單曲線，因為高通和低通相位響應類似，僅相移180°（π弧度）。這等于改變相位的符號，使低通濾波器的輸出滯后，并使高通濾波器領先。

順便提一下，實踐中，高通濾波器實際上是寬帶通帶濾波器，因為放大器的響應會引入至少一個低通極點。

圖5所示為一個雙極點低通濾波器的相位響應和增益響應，表示為Q的函數。傳遞函數表明，相位變化可能分布在較寬的頻率范圍中，并且變化范圍與電路Q成反比。雖然本文主要討論相位響應，但是，相位變化率與幅度變化率之間的關系也是值得考慮的。

注意，每個雙極點段都會提供一個最大180°的相移，并且在極端情況下，–180°的相移（雖然滯后360°）與180°的相移具有相同的屬性。為此，多級濾波器往往在有限范圍內繪制其曲線圖，比如180°至–180°，以提高圖形的讀取精度（見圖11和圖13）。在這種情況下，我們必須認識到，圖中繪制的角度實際上為真實角度±m×360°。盡管在這種情況下，圖的頂部和底部（曲線圖相移±180°）似乎存在不連續問題，但實際相位角度的變化是非常平滑的，并且呈單調性。

圖5.雙極點低通

濾波器段的相位和幅度響應（為Q的函數）。

圖6所示為雙極點高通濾波器在不同Q下的增益和相位響應。傳遞函數表明，180°的相變可能發生在較大的頻率范圍內，并且變化范圍與電路的Q成反比。另外要注意的是，曲線的形狀是十分相似的。具體地，相位響應具有相同的形狀，只是范圍有所不同。

圖6.雙極點高通

濾波器段的相位和幅度響應（為Q的函數）。

放大器傳遞函數

放大器的開環傳遞函數基本上就是單極點濾波器的開環傳遞函數。如果是反相放大器，實際上是插入180°的額外相移。放大器的閉環相移一般忽略不計，但是，如果帶寬不足，就可能影響復合濾波器的總傳遞函數。本文隨機選擇了AD822以便對濾波器進行仿真。本文展示了對復合濾波器傳遞函數的部分影響，但只是在較高頻率下的影響，因為維持其增益和相移的頻率比濾波器本身的角頻要高得多。AD822的開環傳遞函數（摘自數據手冊）如圖7所示。

圖7.AD822波特圖增益和相位。

示例1：1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫低通濾波器

作為例子，我們將考察一款1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫低通濾波器。做出該隨機選擇的幾個原因：

1）與巴特沃茲情況不同，各段的中心頻率都不相同。這樣，圖中的軌跡分布會更廣些，圖也就有趣些。

2） Q一般都略高。

3）奇數個極點突出了單極點段和雙極點段之間的差異。

濾波器段是用ADI網站上的濾波器設計向導設計的。

各段的F0和Q為：

F01 = 615.8Hz F02=960.8Hz F03=342Hz

Q1=1.178 Q2=4.545

圖8所示為完整濾波器的原理圖。所選濾波器拓撲結構——多反饋（MFB）——也是隨機的，就像選擇使單極點段成為有源積分器而非簡單的緩沖式無源RC電路一樣。

圖8.1 kHz、5極點0.5dB切比雪夫低通濾波器。

圖9所示為完整濾波器在各級的相移。圖中所示為第一段本身（第1段，藍色）、前兩段（第1段和第2段，紅色）和完整濾波器（第1段、第2段和第3段，綠色）的相移。其中包括各濾波器段的基本相移、各個反相放大器貢獻的180°以及放大器頻率響應對整體相移的影響。

圖9.圖8中的1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫低通濾波器的相位響應。

一些有意思的細節：首先，相位響應（為凈滯后）負向累加。受放大器反相影響，在低頻下，第一個雙極點段始于–180°（=180° 模360°）;在高頻下，增至–360°（=0° 模360°）。第二段再添一次反相，因此，始于–540°（=180°模360°），在高頻下，相位增至–720°（=0°模360°）。低頻下，第三段始于–900°（=180° 模 360°），高頻下增至–990°（=90° 模360°）。另外注意，當頻率超過10 kHz時，受放大器頻率響應影響，相位略微滾降。該滾降具有累加性，每段均有增加。

示例2：1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫高通濾波器

第二個例子（圖10）考慮的是一款1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫高通濾波器的相位響應。在本例中，濾波器是用（同樣使用濾波器設計向導）Sallen-Key壓控電壓源（VCVS）段而非多路反饋（MFB）設計而成。雖然為隨機選擇，但是，VCVS只要求在每個雙極點段使用兩個電容，而不像多反饋那樣要求每段使用三個電容，并且前兩段同相。

圖10.1 kHz、5極點0.5 dB切比雪夫高通濾波器。

圖11顯示了濾波器各段的相位響應。低頻下，第一段的相移始于180°，高頻時降至0°。第二段（低頻下增加180°）始于360°（=0°模360°），高頻時降至0°。第三段（添加反相）低頻下始于–180°+90°=？90°，降至–540°（=–180°模360°）。同樣注意，高頻下因放大器頻率響應而增加的滾降。