網絡綜合法得到的低通原型濾波器

本書以后的章節將要討論許多濾波器的設計方法，這些方法利用了本章中論述的集總元件低通原型濾波器。我們討論的大多數低通，高通，帶通和帶阻微波濾波器，它們的主要傳輸特性都來源于它們設計時使用的低通原型濾波器。這些低通原型濾波器的元件的值最初是用達林頓和其他人發明的網絡綜合法獲得的。但是，近來建立了更簡明的方程，能方便的使用計算機程序來計算本書中各種類型的重要的低通原型濾波器的元件數值，而且，大量濾波器的設計已經被制成表格。本書中的一些表格是從溫伯格的工作中得到的，其他則是斯坦福研究所根據本書的要求計算出來的。本書中沒有把包括對網絡綜合法正式的討論，因為在其他地方已經廣泛的討論了這些方法，而且為設計提供的表格使這些討論沒有必要。本章的主要目標是弄清楚已制成表格的原型濾波器，時延網絡和阻抗匹配網絡的特性，以便使他們能被合理的應用，來解決第一章中多種微波電路設計的問題。
必須注意到，第六章中的階梯型傳輸器也可以作為第九章中討論的某些類型的微波濾波器的設計原型。
4．02濾波器設計的影像法和網絡綜合法的比較
正如第三章中所討論的，濾波器某個截面上的影像阻抗和衰減函數根據一個無數相同的濾波器連接在一起來定義。用一個有限的無損耗帶終端電阻的濾波器網絡會允許影像阻抗只在分散的頻率匹配，并且反射效應會導致通帶的極大衰減，就像阻帶邊緣的失真一樣。
在3。08節中，已經討論了設計終端部分來降低這些反射效應的原理。但是這些方法在用影像法進行濾波器設計時只能有限的降低反射的大小，它們不能準確的給出通呆內反射損失的峰值。因此，雖然影像法概念簡單，但是當要求準確的設計，包括較低的通帶反射損失和準確的帶邊定義時，需要很多的分割嘗試或知道怎樣。
濾波器設計的網絡綜合法一般開始于指定一個傳輸函數（就像公式2。10－6傳輸系數t），作為綜合頻率p的一個函數。根據傳輸函數，電路的輸入阻抗是p的一個函數。然后，由多種連續的部分或獨立的部分的擴展過程，輸入阻抗發展為給出電路的元件值。通過這些過程得到的電路的傳輸系數與開始指定的相同，所有的推測工作和分割嘗試被消除。影像概念從沒有這些過程，并且終端的影響已經被考慮在傳輸函數的最初指定中。
一般來說，用影像法設計的低通濾波器和網絡綜合法設計的相同功能的濾波器是非常相似的。但是，用網絡綜合法設計出來的濾波器在制定的響應時，元件值略有不同。
在接下來的部分中討論的切比雪夫和最平坦轉移函數經常被指定作為濾波器應用。對于元件數值在4.05節中的表格中列出的濾波器，將在4。03節中精確的推論它們產生的響應。而起，將包括從低通集總元件原型近似值出發設計微波濾波器。然而，這種近似一般來說在相當大的頻率范圍內都非常好，這種原型的使用取決于微波濾波器的參數，它消除了經典影像法內在的推測工作。
4．03最平坦和切比雪夫的衰減特性
圖4。03－1顯示了一個典型的最平坦低通濾波器的衰減特性。頻率 處被定義為通帶邊緣，衰減為 。這個特性的數學表達為公式（4。03－1）其中公式（4。03－2）圖4。03－1中的響應能用4。04和4。05節中所討論的低通濾波器電路實現，公式（4。03－1）中的參數n相當于電路中要求的電抗元件的數目。這種衰減特性得到“最平坦”之名是由于在公式（4。03－1）中方括號內的量在 ＝0時有（2n－1）個零點。
在大多數情況下，最平坦低通濾波器的 北定義為3分貝帶邊點。圖4。03－2顯示了 ，n＝1～15的最平坦濾波器的阻帶衰減特性圖。注意，為了方便，圖中數 作為橫坐標。在 上加上絕對值符號，這是因為在后面討論從低通變換為帶通或帶阻時，可能會遇上 的值為負的情況，這時的衰減與 的值為正時相同。
另一種用的衰減特性是從圖4。03－3所示的切比雪夫或“等波紋”特性。在這種情況下， 還是通帶內的最大分貝衰減， 是等波紋帶邊頻率。圖4。03－3所示的衰減特性可用數學表達為公式（4。03－3）和公式(4.03-4) 其中公式(4.03-5)。
這種特性也可以用4。04節和4。05節中所描述的濾波器結構實現，公式(4.03-3)和公式(4.03-4)中的參數n也是電路中電抗元件數目。如果n為偶數，則低通切比雪夫響應有n/2個頻率處 ＝0，如果n為奇數，則有（n＋1）/2個頻率。圖4。03－4到圖4。03－10 顯示了 ＝0。01，0。10，0。20，0。50，1。00，2。00和3。00分貝通帶波紋時切比雪夫的阻帶衰減特性，橫坐標還是 。
將圖4。03－2中的最平坦衰減特性與圖4。03－4到圖4。03－10中的切比雪夫特性相比較是有趣味的。對于給定的通帶衰減 和電抗元件數目n，切比雪夫濾波器的阻帶衰減斜率陡很多。例如，圖4。03－2中的最平坦衰減特性與圖4。03－10中的切比雪夫衰減特性都是 ＝3分貝，若n＝15，則最平坦原型當 ＝1。7 時， 達到70分貝；對于切比雪夫原型，當 ＝1。18 時， 達到70分貝。與其它特性相比，切比雪夫響應經常作為首選，因為它的選擇性好。但是，如果濾波器的電抗元件有較明顯的損耗，任何一種通帶響應的形狀，會與無損耗時不同，并且這種影響對切比雪夫濾波器特別大。這些問題將在4。13節中討論。與切比雪夫濾波器相比，最平坦濾波器被認為具有更小的延遲失真。但是，正如4。08節中所討論的，這不一定正確，這取決于 的大小。
圖4。03－1和圖4。03－3中的最平坦和切比雪夫響應并不是這一類型中唯一可能的響應，例如，4。09節和4。10節中所討論的阻抗匹配網絡的切比雪夫響應的形狀相似，但是在波紋的底部 不會為0。有時，設計切比雪夫濾波器使它不僅在通帶有等波紋響應，而且在阻帶內一個特定的衰減水平上有一個“等波紋”近似。雖然這些濾波器可以用在低頻，但是很難精確的設計微波頻率上的應用。在7。03節中將討論這種微波濾波器的一種可能的例外。
4．04低通濾波器參數的定義
本章中討論的低通原型濾波器的元件值 的定義如圖4。04－1所示。（a）顯示了原型濾波器的一種可能的形式，它的對偶形式在(b)中顯示。它們兩個給出了相同的響應，因此兩個都可以使用。因為這個網絡是可逆的，所以左邊的電阻和右邊的電阻都可以定義為信號源的內阻。應該注意到圖4。04－1中有下列的約定：公式（4。04－1）
使用這些約定的原因是因為當使用一個給定的電路或它的對偶電路時，它們會導出相同形式的方程。除了電路元件值 外，還將使用一個附加的原型參數 。參數 是通帶邊緣的頻率，它在這里所討論的最平坦濾波器和切比雪夫濾波器類型中的定義見圖4。03－1和圖4。07節中討論了它在最平坦時延濾波器中的定義。
本章中討論的原型濾波器的元件數值都歸一花，使 ＝1， ＝1。使用下列電路元件的變換公式，這些原型可以很容易的變換為其他的阻抗水平和頻率標度。對于電阻和電導，公式（4。04－2）對于電感，公式（4。04－3）對于電容，公式（4。04－4）
在這些公式中，帶撇的量是歸一化原型的，不帶撇的量是響應的變換電路的。正如在前面的討論中所指出的，對本章的歸一化原型來說， ＝ =1或 ＝ ＝1。
舉一個例子來說明怎樣實現這種變換，假設我們有一個低通原型，它的 ＝1。000歐姆， =0.8430法拉， =0.6220亨利， ＝1。3554姆歐。這些是0。1分貝波紋切比雪夫濾波器的元件值，它的等波紋帶邊頻率 ＝1【見表4。05－2（a）中0。1分貝波紋和n＝2時的情況】。假定要求把這個原型變換為 =50歐姆，等波紋帶邊頻率 ＝1000兆赫，那么（ ）=50,( )=1/( 。然后，根據公式（4。04－2）到（4。04-4）, = 50歐姆, 法拉， 亨利， 姆歐。
4．05雙終端最平坦和切比雪夫原型濾波器
對于雙端都是電阻的最平坦濾波器，響應如圖4。03－1， ＝3分貝， ＝1， ＝1，其元件數值可用下面的公式來計算：
公式（4。05－1）
表4。05－1（a）中給出了這種濾波器的電抗元件數n＝1到10時的元件值，表4。05－1（b）中給出了這種濾波器的電抗元件數n＝11到15時的元件值。
對于兩端都是電阻的切比雪夫濾波器，相應如圖4。03－3，通帶波紋 分貝， ＝1， ＝1，其元件數值可用下面的公式來計算：
公式（4。05－2）
然后計算：公式
表表4。05－2（a）中給出這種濾波器的電抗元件數n＝1到10時的元件值，表4。05－2（b）中給出了這種濾波器的電抗元件數n＝11到15時的元件值。
應該注意的是這節中討論的所有濾波器原型當n為奇數時是對稱的。如果n為偶數，他們具有2。11節和3。07節中所提到的反對稱性。在這種情況下，通過一個正實常數 ，可以把網絡的一半與網絡的另一半對應起來， 可被定義為：公式（4。05－3）
這里的 和 是濾波器終端的電阻。如果 是濾波器梯形網絡一個分支的阻抗，那么
公式（4。04－4）
其中 是濾波器另一端分支的阻。根據公式（4。05－4），可以看到濾波器一段的電感感抗與另一端的電容相關，
公式（4。04－5）
還有，
公式（4。05－6）
因此，如果濾波器是反對稱的，就可以從其中一半元件值求得另一半元件值（就像對稱的濾波器那樣）。
在圖4。04－1中的雙終端最平坦和切比雪夫濾波器中，可以發現上面所討論的對稱和反對稱特性，設計濾波器使它在通帶內有一個或多個頻率處 ＝0，如圖4。03－1和圖4。03－3中所示。在4。06節，4。09節，和4。10節中所討論的最平坦和切比雪夫濾波器沒有這種特性。在4。07 節中所討論的最平坦時延濾波器，雖然在 ＝0處 ＝0，但是它不是對稱或反對稱的。
有些較少的情況下可能要求設計時n大于15。在這些情況下可以增大n＝14或n＝15的設計，重復濾波器的兩個中間元件得到很好的近似設計。這樣，假定希望設計n＝18，可以增大n＝14的設計得到n＝18的設計，把電路在元件 之后斷開，將原件 和 重復兩次，然后再和元件 以及其他元件相連。這樣，用帶撇的 表示n＝18濾波器的元件數值，用不帶撇的 表示n＝14濾波器的元件數值，則n＝1有下列的元件數值：
當然，這是一種近似方法，但是它的根是：對于給定的切比雪夫波紋，如果n在10左右或更大，則當n改變時，涉及元件的值變化非常小。這一點可以很容易看出，只要比較表4。05－2（b）中左邊各爛中不同n值對應的元件數值。