１ 頻率細化過程介紹

頻率細化是在信號處理和模態分析中廣泛應用的一種技術，它能夠提高頻率的分辨率，將選定的頻率域上的特性曲線放大，從而使系統的頻率特性能更清楚地顯示出來，如圖１所示。

設系統的采樣頻率為fs，采樣點數為NO，則頻率分辨率為：

Δf=fs/NO

從上式可以看出，要進行頻率細化，即提高頻率分辨率，使Δf變小，有兩種方法：增加采樣點數NO和降低采樣頻率fs，這里只介紹降低采樣頻率的方法。

這種方法主要是基于移頻原理，如圖2所示。

設想要移頻部分的頻率為fp，其角頻率為wp=2πfp，令f （t）=exp（-jwpt）。時域信號x（t）與f（t）卷積后，則在頻域上，該信號的fp頻率就移到了原點處。

信號頻率移到低頻后，經過低通濾波，就可以用低的采樣頻率進行采樣，從而達到提高頻率分辨率、頻率細化的目的。具體過程如圖3所示。

2 移頻法頻率細化過程中幾個問題的分析

（1） 非細化處理的系統采樣頻率為fs，采樣點數為NO。對于細化過程，設頻率細化倍數為Nr，信號經過抗混疊濾波器后進行A/D采樣，采樣頻率應仍為原來的 fs，保持不變，采樣點數則為Nr*NO，這樣就保證了細化與非細化處理的基本頻帶范圍保持不變，并且可以細化這一頻帶中的任何一段。

（2）要細化的頻率范圍為fl～fu，移頻后，低頻點fl移到原點，則高頻點變為（fu-fl）。這時數字低通濾波器的截止頻率應大于（fu-fl），并小于低頻重采樣頻率fs/Nr的一半。即截止頻率的范圍為：

（fu-fl）＜fc＜fs/2Nr

且可以得到最大細化倍數Ｎ與細化頻率范圍之間的關系為：

Nr＜fs/2（fu-fl）

這為設置細化倍數范圍提供了依據。

（3）數字低通濾波器的通帶必須平，通帶內波動要小，這樣原信號的頻率特性細化后在幅值上才不會改變;同時，最好使濾波器的帶外衰減＞-70dB，且-70dB處的頻率＜fs／2Nr，這樣就能保證低頻重新采樣時抗混疊的效果最好，細化的效果也最好。

（4） 細化與不細化過程占用時間的比較：由于采樣點數NO保持不變，因此細化處理的FFT時間與不細化的FFT時間一樣，都是NOLog（NO）/2;細化過程 要進行Nr*NO點的高頻采樣和NO點的低頻采樣，而不細化過程只進行NO點的高頻采樣，所以在采樣時間上，細化過程要稍長一點。但它與NO點的FFT變 換時間比起來可以不計，因此，細化處理與不細化處理在時間上差不多。

（5） 移頻法頻率細化與增加采樣點數頻率細化的比較：移頻法頻率細化只進行NO個點的FFT變換，和一些數組、矩陣的運算，它所花的時間約 為：NOLog（NO）/2;而采用增加采樣點數頻率細化要進行Nr*NO個點的FFT變換，它所花的時間約為：（Nr*NO）Log（Nr*No） /2，因此采用移頻法頻率細化的時間要短得多，這是它的優點，也是工程應用中多采用這種方法的原因，我們也只對它進行仿真。

由于移頻使fl前面的頻段移到頻域的負軸上，而低通濾波又濾掉了fu后面的高頻部分，因此，這種方法只能進行一段頻率的細化，不能進行全頻段的細化，這是移頻法頻率細化的缺點。要進行全頻段細化，可以采用增加采樣點數的方法。

３ 用MATLAB仿真頻率細化過程

用MATLAB程序仿真圖3這個過程，主要實現A/D采樣、移頻、低通濾波、低頻重新采樣、FFT變換等，同時注意上面幾個問題的分析。

總 信號由302Hz、304Hz、306Hz、308Hz四個不同頻率、不同幅值的正余弦信號合成。采樣點為512，采樣頻率為5120Hz，則頻率分辨率 為10Hz，這在頻域內分辨不出這四個信號。仿真軟件在300～320Hz范圍內細化10倍，則這時頻率分辨率為1Hz，就可以逐漸看清楚這四個信號。

x（t）=sin（2*302）+2cos（2π*304）+3sin（2π*306）＋4sin（２π*308）

細化處理需要5120個采樣點，仿真時A/D采樣用對連續信號x（t）　進行離散化來代替，離散化的點值就是采樣值，它們組成一個數組（矩陣），這是一個點序列。

采樣完成后，對采樣點進行移頻仿真（將300Hz移頻到原點），由以下步驟實現：

令：F1=300W1=２π*F1

f（t）=exp（-jw1*t）

ｔ取離散化時刻，Δt=1/fsTk=k*Δt

則f（t）離散化可變為：

f（k）=exp（-jw1*Tk）

=exp［（-j2π*f1*k）/fs］

這也是一個點序列。

MATLAB將上面兩個點序列進行卷積（矩陣相乘），得到一個新的點序列，就實現了移頻過程，即使F1=300Hz 在頻域上移動了0，其它頻率特性依此前移。

MATLAB語言有很方便的濾波器設計和數字濾波功能，可用它設計一個帶內波動＜0.1dB，帶外衰減＞-70dB，截止頻率為20Hz的低通濾波器，并將上面的點序列進行數字濾波，得到一個只在0～20Hz頻段上有特性曲線、其它頻段被濾掉的信號的點序列。

對上面的點序列每隔10點（細化倍數）進行抽取，實際上就是對經移頻、濾波后的信號進行重新采樣。采樣頻率為S120Hz/10，即采樣頻率降低了10倍，抽取得到512個點。

對這512個點進行FFT變換，就可以得到300Hz～320Hz頻段上已細化10倍的頻率特性曲線了，結果如圖4、圖8所示。

用仿真程序分別進行2、4、8、10倍的頻率細化，從運行結果可以看出，細化倍數越大，頻率分辨率就越高，頻域波形越看得清楚，這與理論是相符合的。