三維矢量散射積分方程中奇異性的分析

本文研究了電場積分方程(EFIE)中被積函數奇異性的處理方法，特別是三維矢量散射分析中出現的高階奇異性，給出了兩種解決積分方程奇異性的數值方法.一種方法是計算O(1/R)階奇異積分的奇異轉移法［1］.另一種方法是為解決O(1/R2)高階奇異積分的數值計算問題的，它是通過排除一包含奇點的有限小塊，而這一小塊區域對積分的貢獻為零，從而使積分方程在整個積分域變得數值可積.
　　關鍵詞:三維矢量散射；電場積分方程；自阻抗；主值積分

Singularity Analysis of the Integral Equation for Three Dimension Vector Fields Scattering

WANG Hao-gang,NIE Zai-ping
(Dept.of Microwave Eng.,UEST of China,Chengdu 610054,China)

　　Abstract:In this paper,the singularity in the integrand of electrical field integral equation (EFIE) for 3-dimensional vector fields scattering is first analyzed.Two numerical methods for solving the singularity integral equation are developed.One method is the singularity transferring method for calculating integral value containing O(1/R) singularity in its integrand［1］.The other singularity is removed first and the integral contribution of this small area is proved to be zero.Thus,the integral on the whole integral area can be calculated properly by using numberical method.
　　Key words:3 dimension vector fields scattering;electrical field integral equation;self-impedance;principal integral

一、引　　言
　　隨著計算技術的發展，數值方法在求解三維矢量散射問題中的應用越來越廣泛.用矩量法求解三維矢量散射問題的關鍵是精確求解阻抗矩陣的元素，特別是自阻抗元素.求解這些矩陣元素需要對場點和源點的面積分.在自阻抗元素的求解中，將遇到場點與源點重合時產生奇異積分核的問題.目前，國內外學者對此類奇異積分的處理，盡管有一些研究，但不盡如人意.有的對其作近似處理［3］，降低了阻抗矩陣對角線元素的數值精確性，從而直接影響到電磁散射數值解的精度.對電場積分方程(EFIE)中被積函數奇異性(自阻抗元素的積分表示式中含有奇異性的來源)的分析可采用主值積分法，得到的電場積分方程是去除奇點的主值積分.由于在奇點附近，被積函數變化非常劇烈，所以不能對該主值積分使用一般的數值求積方法.但由于在主值積分中積分域不含奇點，被積函數是解析的，故可方便地對其進行數值分析.本文結合參數幾何知識導出了對主值積分形式的電場積分方程進行數值求積的兩種方法.其一是在奇異轉移方法［1］基礎上對電場積分方程中O(1/R)階奇異積分項進行數值求積的具體方案.其二是對O(1/R2)高階奇異積分項的處理，這種方法是去除奇點附近被積函數變化劇烈的一有限小塊區域，然后證明了在這一小塊區域內的積分為零，從而使積分變得數值可積，較圓滿地解決了電場積分方程數值求解問題.運用本文方法對導體球及兩端開口薄壁圓柱和正方形平板的RCS進行了數值計算，獲得了滿意的結果.

二、積分的奇異性及三維EFIE的主值積分
　　三維導體矢量散射的電場積分方程(EFIE)可表示為：

　(1)

選擇適當的局域電流基函數{jp(r′)}來表示金屬散射體表面電流J(r′)，得：

　(2)

再選擇適當的權函數{tq(r)}，從而把式(1)離散成矩陣方程：

　(3)

　　其中,Fq為激勵項，ap為響應項，Aqp則為阻抗元素項.在參數空間中，阻抗元素的積分表達式為：

　(4)

式中，sq和sp分別表示對場點和對源點的積分域；u1和u2與u′1和u′2分別為參數空是中場點和源點的坐標；r/ui和r′/ui(i=1,2)為實空間中物體表面上的r和r′點的切向矢量;g=det(gij),(i,j=1,2)，gij=r/ui.r/uj,(i,j=1,2)為曲面s的第一類基本量［4］.
　　參數空間中，基函數選擇屋頂函數(rooftop functions):

　(5)
　(6)

式(5)、(6)中i=1時，j=2;i=2時，j=1，而且

　(7)

　(8)

　　當sself=sq∩sp≠φ時，Aqp被稱作自阻抗元素，此時場點積分域與源點積分域部分或完全重合.當r′→r時，R→0，從式(4)可以看出，被積函數發散.在經典函數論中，該積分無意義.這對數值求解帶來巨大的困難.
　　然而，在實際上電流產生的場總是有限和唯一的.對此，采用奇異積分的主值積分法［5］分析電場積分方程.式(1)可寫成：

　(9)

式中，電場積分方程被分為兩項.第一項為不含場點(奇點)的主值積分.第二項為含場點的分離面積元積分.由于主值積分不含有奇點，故可用通常的數值方法計算.下面討論第二項對整個積分方程的貢獻.可以證明［6］不論Δs形狀如何，當Δs→0時，Δs自身散射場Esself與場點處總場E(r)有以下關系：

　(10)

　　由于在理想導體表面上電場與表面垂直，所以式(9)第二項為零，即：

　(11)

　　上式就是電場積分方程的主值積分.不難看出式(1)和(11)的區別僅為：主值積分的積分域不含有奇點，因此可用經典函數論的方法分析其積分值收斂趨勢.于是，阻抗元素計算式(4)可改寫為：

其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfsself=sq∩sp,Δsself→0　(12)
由式(12)可知，在關于場點和源點的面積分中，被積函數包含了兩項：

　(13)
　(14)

阻抗矩陣計算式(4)和(12)可分別簡寫為：

　(15)

和

　(16)

其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfsself=sq∩sp,Δsslef→0.
　　式(15)，(16)都能用來求解矩陣自阻抗元素.但式(16)對源點使用主值積分，便于數值分析.兩式中，I1=I′1,I2=I′2.為方便計，選擇其中的I1和I′2.

三、奇異項轉移方法
　　在式(13)中，僅包含弱奇異性的Abel積分核［7］.一般來講，對于這類積分，數值計算時只要分格越細(不取奇點)，所得的數值結果就越精確.但計算量增加.若取較少的節點，則由于被積函數在奇點附近變化劇烈，導致誤差增大.所以必須尋找一種在數值計算上實際可行的方案.處理這類奇異積分的方法之一是奇異轉移法［1］.本文將這種方法進行了推廣，以便解決式(13)那樣的奇異問題.經過簡單的數學處理，得：

　(17)

在上式中，第一項被積函數在積分域是連續有限的，因此數值可積.在第二項積分中，因子f1(r,r)只與場點有關，故可提到積分號外，因此簡化了奇異項以便于使用積分的解析解：

式中R0=
　(19)

四、挖除有限小塊法
　　下面討論I′2的數值積分.積分項I′2不包含奇點，其被積函數F2(r,r′)在積分域上是解析的.但在奇點r附近，由于F2(r,r′)隨r′的變化非常劇烈，用一般的數值求積是很困難的.
　　用一有限小曲面塊ΔS包圍奇點(ΔSsp)，并設F2(r,r′)的陡變部分在ΔS中.取Δs0=ΔS-Δsself.在實際空間中，Δs0對應于一很小的曲面塊，即Δs0<<1.而在參數空間中，Δs0則為一很小的矩形塊，其長為Δu1，寬為Δu2，如圖1.這時I′2變為：

　(20)

式中第一項不含陡變部分，所以可用一般的數值求積方法計算.第二項不含奇點，可以得到解析結果.