最簡單的神經網絡，僅由一個“神經元”構成，所謂神經網絡就是將許多個單一“神經元”聯結在一起，這樣，一個“神經元”的輸出就可以是另一個“神經元”的輸入。

　　文章描述采用反向傳播算法訓練多層神經網絡的學習過程。為了說明這個過程，使用了具有兩個輸入和一個輸出的三層神經網絡，如下圖所示：

　　每個神經元由兩部分組成。第一部分是輸入信號和權重系數的加權和。第二部分是非線性函數，稱為神經元激活函數。信號e是加權和的輸出（加法器的輸出）信號。y=f（e）是非線性函數（元件）的輸出信號。信號y也是神經元的輸出信號。

　　要訓練神經網絡，我們需要“訓練數據集”。訓練數據集是由對應目標z（期望輸出）的輸入信號（x_1和 x_2）組成。神經網絡的訓練是一個迭代過程。在每個迭代中，使用來自訓練數據集的新數據修改網絡節點的加權系數。整個迭代由前向計算和反向傳播兩個過程組成。

　　前向計算：每個學習步驟從來自訓練集的兩個輸入信號開始。前向計算完成之后，我們可以確定每層網絡中每個神經元的輸出信號值（譯者注：隱藏層神經元的誤差是沒有的，因為訓練數據集中沒有隱藏層的目標值）。下圖顯示了信號如何通過網絡傳播，符號w（xm） 表示網絡輸入x_m和神經元n之間的連接權重。符號y_n 表示神經元n的輸出信號。

　　隱藏層信號傳播。符號w_mn表示神經元m的輸出和后一層神經元n的輸入之間的連接權重 。

　　輸出層信號傳播：

　　在下一個算法步驟中，將網絡y的輸出信號與訓練數據集中的輸出值（目標）進行比較。差異稱為輸出層神經元的誤差信號δ。

　　因為隱層神經元的輸出值（訓練集沒有隱藏層的目標值）是未知的，所以不可能直接計算內部神經元的誤差信號。多年來，一直沒有找到訓練多層神經網絡的有效方法。直到在八十年代中期，反向傳播算法才被制定出來。反向傳播算法是將誤差信號δ（在單個訓練步驟中計算）傳播回所有神經元，對于神經元來說，誤差信號反向傳播。

　　用于傳播誤差的權重系數w_mn等于前向計算使用的權重系數，只是數據流的方向改變（信號從輸出到輸入一個接一個地傳播）。該技術用于所有網絡層。如果誤差是來自多個神經元，則把它們加起來（譯者注：反向來看，也是加權和）。下圖所示：

　　計算每個神經元的誤差信號，用于修改每個神經元輸入連接的加權系數。在下面的公式中， df（e）/de表示神經元激活函數的導數。影響權重的因素除了神經元激活函數的導數之外，還有反向傳播的誤差信號，以及神經元輸入方向連接的前一個神經元。（譯者注：這里忽略了推導過程，直接給出權重的修改方法。具體的推導過程參考我的前一篇文章：《誤差反向傳播算法淺解》。原理是一樣的，影響權重的三個因素體現在下面的公式中。）。

　　其中系數η影響網絡訓練速度。有幾種技術來選擇此參數。第一種方法是開始具有較大參數值。當權重系數正在建立時，參數逐漸減少。第二個方法是開始用小參數值進行訓練。在訓練過程中，參數逐漸增加，然后在最后階段再次下降。開始具有低參數值的訓練過程能夠確定權重系數。