決策樹，是機器學習中一種非常常見的分類方法，也可以說是所有算法中最直觀也最好理解的算法。

　　有人找我借錢（當然不太可能。。。），借還是不借？我會結合根據我自己有沒有錢、我自己用不用錢、對方信用好不好這三個特征來決定我的答案。

　　我們把轉到更普遍一點的視角，對于一些有特征的數據，如果我們能夠有這么一顆決策樹，我們也就能非常容易地預測樣本的結論。所以問題就轉換成怎么求一顆合適的決策樹，也就是怎么對這些特征進行排序。

　　在對特征排序前先設想一下，對某一個特征進行決策時，我們肯定希望分類后樣本的純度越高越好，也就是說分支結點的樣本盡可能屬于同一類別。

　　所以在選擇根節點的時候，我們應該選擇能夠使得“分支結點純度最高”的那個特征。在處理完根節點后，對于其分支節點，繼續套用根節點的思想不斷遞歸，這樣就能形成一顆樹。這其實也是貪心算法的基本思想。那怎么量化“純度最高”呢？熵就當仁不讓了，它是我們最常用的度量純度的指標。其數學表達式如下：

　　其中N表示結論有多少種可能取值，p表示在取第k個值的時候發生的概率，對于樣本而言就是發生的頻率/總個數。

　　熵越小，說明樣本越純。

　　以一個兩點分布樣本X（x=0或1）的熵的函數圖像來說明吧，橫坐標表示樣本值為1的概率，縱坐標表示熵。

　　可以看到到當p（x=1）=0時，也就是說所有的樣本都為0，此時熵為0.

　　當p（x=1）=1時，也就是說所有的樣本都為1，熵也為0.

　　當p（x=1）=0.5時，也就是樣本中0，1各占一半，此時熵能取得最大值。

　　擴展一下，樣本X可能取值為n種（x1。。。。xn）。可以證明，當p（xi）都等于1/n 時，也就是樣本絕對均勻，熵能達到最大。當p（xi）有一個為1，其他都為0時，也就是樣本取值都是xi，熵最小。

　　決策樹算法

　　ID3

　　假設在樣本集X中，對于一個特征a，它可能有（a1，a2。。。an）這些取值，如果用特征a對樣本集X進行劃分（把它當根節點），肯定會有n個分支結點。剛才提了，我們希望劃分后，分支結點的樣本越純越好，也就是分支結點的“總熵”越小越好。

　　因為每個分支結點的個數不一樣，因此我們計算“總熵”時應該做一個加權，假設第i個結點樣本個數為W（ai），其在所有樣本中的權值為W（ai） / W（X）。所以我們可以得到一個總熵：

　　這個公式代表含義一句話：加權后各個結點的熵的總和。這個值應該越小，純度越高。

　　這時候，我們引入一個名詞叫信息增益G（X，a），意思就是a這個特征給樣本帶來的信息的提升。公式就是：，由于H（X）對一個樣本而言，是一個固定值，因此信息增益G應該越大越好。尋找使得信息增益最大的特征作為目標結點，并逐步遞歸構建樹，這就是ID3算法的思想，好了以一個簡單的例子來說明信息增益的計算：

　　上面的例子，我計算一下特征1的信息增益

　　首先計算樣本的熵H（X）

　　再計算總熵，可以看到特征1有3個結點A、B、C，其分別為6個、6個、5個

　　所以A的權值為6/（6+6+5）， B的權值為6/（6+6+5）， C的為5/（6+6+5）

　　因為我們希望劃分后結點的純度越高越好，因此還需要再分別計算結點A、B、C的熵

　　特征1=A：3個是、3個否，其熵為

　　特征1=B：2個是、4個否，其熵為

　　特征1=C：4個是、1個否，其熵為

　　這樣分支結點的總熵就等于：

　　特征1的信息增益就等于0.998-0.889=0.109

　　類似地，我們也能算出其他的特征的信息增益，最終取信息增益最大的特征作為根節點。

　　以上計算也可以有經驗條件熵來推導：G（X，A）=H（X） - H（X|A），這部分有興趣的同學可以了解一下。

　　C4.5

　　在ID3算法中其實有個很明顯的問題。

　　如果有一個樣本集，它有一個叫id或者姓名之類的（唯一的）的特征，那就完蛋了。設想一下，如果有n個樣本，id這個特征肯定會把這個樣本也分成n份，也就是有n個結點，每個結點只有一個值，那每個結點的熵就為0。就是說所有分支結點的總熵為0，那么這個特征的信息增益一定會達到最大值。因此如果此時用ID3作為決策樹算法，根節點必然是id這個特征。但是顯然這是不合理的。。。

　　當然上面說的是極限情況，一般情況下，如果一個特征對樣本劃分的過于稀疏，這個也是不合理的（換句話就是，偏向更多取值的特征）。為了解決這個問題，C4.5算法采用了信息增益率來作為特征選取標準。

　　所謂信息增益率，是在信息增益基礎上，除了一項split information，來懲罰值更多的屬性。

　　而這個split information其實就是特征個數的熵H（A）。

　　為什么這樣可以減少呢，以上面id的例子來理解一下。如果id把n個樣本分成了n份，那id這個特征的取值的概率都是1/n，文章引言已經說了，樣本絕對均勻的時候，熵最大。

　　因此這種情況，以id為特征，雖然信息增益最大，但是懲罰因子split information也最大，以此來拉低其增益率，這就是C4.5的思想。

　　CART

　　決策樹的目的最終還是尋找到區分樣本的純度的量化標準。在CART決策樹中，采用的是基尼指數來作為其衡量標準。基尼系數直觀的理解是，從集合中隨機抽取兩個樣本，如果樣本集合越純，取到不同樣本的概率越小。這個概率反應的就是基尼系數。

　　因此如果一個樣本有K個分類。假設樣本的某一個特征a有n個取值的話，其某一個結點取到不同樣本的概率為：

　　因此k個分類的概率總和，我們稱之為基尼系數：

　　而基尼指數，則是對所有結點的基尼系數進行加權處理

　　計算出來后，我們會選擇基尼系數最小的那個特征作為最優劃分特征。

　　剪枝

　　剪枝的目的其實就是防止過擬合，它是決策樹防止過擬合的最主要手段。決策樹中，為了盡可能爭取的分類訓練樣本，所以我們的決策樹也會一直生長。但是呢，有時候訓練樣本可能會學的太好，以至于把某些樣本的特有屬性當成一般屬性。這時候就我們就需要主動去除一些分支，來降低過擬合的風險。

　　剪枝一般有兩種方式：預剪枝和后剪枝。

　　預剪枝

　　一般情況下，只要結點樣本已經100%純了，樹才會停止生長。但這個可能會產生過擬合，因此我們沒有必要讓它100%生長，所以在這之前，設定一些終止條件來提前終止它。這就叫預剪枝，這個過程發生在決策樹生成之前。

　　一般我們預剪枝的手段有：

　　1、限定樹的深度

　　2、節點的子節點數目小于閾值

　　3、設定結點熵的閾值等等。

　　后剪枝

　　顧名思義，這個剪枝是在決策樹建立過程后。后剪枝算法的算法很多，有些也挺深奧，這里提一個簡單的算法的思想，就不深究啦。

　　Reduced-Error Pruning （REP）

　　該剪枝方法考慮將樹上的每個節點都作為修剪的候選對象，但是有一些條件決定是否修剪，通常有這幾步：

　　1、刪除其所有的子樹，使其成為葉節點。

　　2、賦予該節點最關聯的分類

　　3、用驗證數據驗證其準確度與處理前比較

　　如果不比原來差，則真正刪除其子樹。然后反復從下往上對結點處理。這個處理方式其實是處理掉那些“有害”的節點。

　　隨機森林

　　隨機森林的理論其實和決策樹本身不應該牽扯在一起，決策樹只能作為其思想的一種算法。

　　為什么要引入隨機森林呢。我們知道，同一批數據，我們只能產生一顆決策樹，這個變化就比較單一了。還有要用多個算法的結合呢？

　　這就有了集成學習的概念。

　　圖中可以看到，每個個體學習器（弱學習器）都可包含一種算法，算法可以相同也可以不同。如果相同，我們把它叫做同質集成，反之則為異質。

　　隨機森林則是集成學習采用基于bagging策略的一個特例。

　　從上圖可以看出，bagging的個體學習器的訓練集是通過隨機采樣得到的。通過n次的隨機采樣，我們就可以得到n個樣本集。對于這n個樣本集，我們可以分別獨立的訓練出n個個體學習器，再對這n個個體學習器通過集合策略來得到最終的輸出，這n個個體學習器之間是相互獨立的，可以并行。

　　注：集成學習還有另一種方式叫boosting，這種方式學習器之間存在強關聯，有興趣的可以了解下。

　　隨機森林采用的采樣方法一般是是Bootstap sampling，對于原始樣本集，我們每次先隨機采集一個樣本放入采樣集，然后放回，也就是說下次采樣時該樣本仍有可能被采集到，經過一定數量的采樣后得到一個樣本集。由于是隨機采樣，這樣每次的采樣集是和原始樣本集不同的，和其他采樣集也是不同的，這樣得到的個體學習器也是不同的。

　　隨機森林最主要的問題是有了n個結果，怎么設定結合策略，主要方式也有這么幾種：

　　加權平均法：

　　平均法常用于回歸。做法就是，先對每個學習器都有一個事先設定的權值wi，

　　然后最終的輸出就是：

　　當學習器的權值都為1/n時，這個平均法叫簡單平均法。

　　投票法：

　　投票法類似我們生活中的投票，如果每個學習器的權值都是一樣的。

　　那么有絕對投票法，也就是票數過半。相對投票法，少數服從多數。

　　如果有加權，依然是少數服從多數，只不過這里面的數是加權后的。

　　例子

　　以一個簡單的二次函數的代碼來看看決策樹怎么用吧。

　　訓練數據是100個隨機的真實的平方數據，不同的深度將會得到不同的曲線

　　測試數據也是隨機數據，但是不同深度的樹的模型，產生的預測值也不太一樣。如圖

　　這幅圖的代碼如下：

　　我的是python 3.6環境，需要安裝numpy、matplotlib、sklearn這三個庫，需要的話直接pip install，大家可以跑跑看看，雖然簡單但挺有趣。