如何將傅立葉變換用于深度學習領域

機器學習和深度學習中的模型都是遵循數學函數的方式創建的。從數據分析到預測建模，一般情況下都會有數學原理的支撐，比如：歐幾里得距離用于檢測聚類中的聚類。

傅里葉變換是一種眾所周知的將函數從一個域轉換到另一個域的數學方法，它也可以應用于深度學習。

本文將討論傅里葉變換，以及如何將其用于深度學習領域。

什么是傅里葉變換？

在數學中，變換技術用于將函數映射到與其原始函數空間不同的函數空間。傅里葉變換時也是一種變換技術，它可以將函數從時域空間轉換到頻域空間。例如以音頻波為例，傅里葉變換可以根據其音符的音量和頻率來表示它。

我們可以說，任何函數的傅里葉變換所執行的變換都是頻率的函數。其中結果函數的大小是原始函數所包含的頻率的表示。

我們舉一個信號的例子，它的時域函數如下所示：

在同一時間范圍內獲取另一個信號的一部分：

將這兩個信號的稱為??和?，其中 n 是時域。因此，如果我們添加這些信號，信號的結構將如下所示：

可以看到，函數的信號相加是將兩個信號進行了加的操作，如果我們試圖從這個相加信號 C 中提取信號 A 或 B，我們會遇到一個問題，因為這些信號只是功率相加，和時間沒有關系。也就是說相加的操作是同一時間上的功率的相加。

可以在上圖中看到，頻域可以很容易地突出信號之間的差異。如果希望將這些信號轉換回時域，我們可以使用傅里葉逆變換。

傅立葉變數學原理

正弦序列可用于表示時域中的信號，這是傅立葉變換的基礎。所以如果函數是一個連續信號，函數f可以用來表示為：

可以看到該函數是由無限正弦曲線相加組成的，我們可以將其視為函數信號的表示，并且該函數具有定義輸出信號結構所需的兩個系數。

求解傅里葉變換積分（本質上是頻率的函數）會產生這些系數。傅里葉變換的結果可以被認為是一組系數。它可以用數學表示如下：

而這個函數的倒數可以看作是我們用來將頻域函數轉換為時域函數的時間函數，也就是傅里葉逆變換。

求解上面的這些積分可以得到a和b的值，這里討論的是信號是連續信號的情況。但是在現實生活中，大多數問題都是從離散采樣的信號中產生的，為了找出這種信號變換的系數，我們需要執行離散傅里葉變換 (DFT)。

使用DFT我們可以得到一個相同長度等間隔的樣本序列，這個函數是由一組等間隔的樣本序列組成的。上面給出的函數?的系數可以由下面的函數得到。

和??的值將是:

在函數??中使用項??和??，就可以找到頻域中的信號。

使用 Python 進行傅里葉變換

Python 的 scipy 模塊提供了數學中所需的所有轉換技術，所以可以直接使用它

import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
from scipy.fft import fft, fftfreq

制作正弦波

#  sample points 
N = 1200 
 
# sample spacing 
T = 1.0 / 1600.0 
 
x = np.linspace(0.0, N*T, N, endpoint=False) 
sum = np.sin(50.0 * 2.0*np.pi*x) + 0.5*np.sin(80.0 * 2.0*np.pi*x) 
 
plt.plot(sum) 
plt.title('Sine wave') 
plt.xlabel('Time') 
plt.ylabel('Amplitude') 
plt.grid(True, which='both') 
plt.show()

上面的輸出中，可以看到使用 NumPy 生成的正弦波，現在可以使用 scipy 庫的 FFT 模塊對其進行轉換。

sumf = fft(sum) 
xf = fftfreq(N, T)[:N//2] 
plt.ylabel('frequency') 
plt.xlabel('sample') 
plt.title("FFT of sum of two sines") 
plt.plot(xf, 2.0/N * np.abs(sumf[0:N//2])) 
plt.show()