深度誘導的神經網絡高斯過程

To explore Gaussian Processes??

目前，核方法和深度神經網絡是兩種引人注目的機器學習方法。近年來，許多理論闡明了他們的聯系。

筆者曾經總結了目前理解神經網絡的四個perspectives：決策邊界，特征表示，把神經網絡看成一個核，以及微分方程。從核的一個視角看，神經網絡的一個理論進展是，“證明了在網絡參數服從相同的隨機初始化時，無限寬網絡等價于一個高斯過程”。盡管這個理論有效而且優雅，我們注意到所有神經網絡導出的高斯過程本質上都是運用了無限寬度這一假設。然而，身處深度學習時代的我們更加關心的是神經網絡的深度問題，比如，增加深度如何影響網絡的行為？具體地說，寬度有限無限地增加深度可以誘導出來高斯過程嗎？這里筆者的一篇論文給出了肯定的答案 [1]。

——[1] Zhang, S. Q., Wang, F., & Fan, F. L. (2022). Neural network gaussian processes by increasing depth.?IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems

一、高斯過程

首先，我們來說明什么是高斯過程。我們對多元高斯分布很熟悉。多元高斯分布是針對一個向量，由一個平均值向量+一個協方差矩陣來定義。還記得本公眾號之前的推送里面有一個高觀點：“函數是無限維的向量”（高觀點）。高斯過程也是高斯分布的這樣一個拓展，也就是說，無限維向量的高斯分布就是一個高斯過程，高斯過程由一個平均值函數+一個協方差函數來決定。

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二、神經網絡高斯過程

神經網絡是怎么和高斯過程聯系在一起的呢？Lee et al. [1] and Neal [2] 指出，隨機初始化無限寬網絡的參數會產生一個高斯過程，稱作神經網絡高斯過程（neural network Gaussian process, NNGP）。Intuitively，我們可以這么來理解這件事：給定一個參數為 i.i.d 的全連接多層網絡。由于網絡隨機初始化，每個神經元的輸出也是獨立同分布。因為后面一層的每個神經元的輸出是前一層所有神經元的聚合，當網絡寬度無限大時，根據中心極限定理，無限多個獨立同分布的變量的平均服從高斯分布。這樣，網絡表示的輸出函數本質上是一個高斯過程，如下動態圖可以很好展示這一觀點。

[1] Lee, J., Bahri, Y., Novak, R., Schoenholz, S. S., Pennington, J., & Sohl-Dickstein, J. (2017). Deep neural networks as gaussian processes.?ICLR.

[2] Neal, R. M. (1996). Priors for infinite networks. In?Bayesian Learning for Neural Networks?(pp. 29-53). Springer, New York, NY.

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三、 深度誘導的神經網絡高斯過程

盡管前面的NNGP理論非常優雅和有效，但它有一個重要的限制：不管網絡中堆疊了多少層，NNGP之所以成功是因為網絡無限寬。但是在深度學習時代，因為深度是決定深度學習力量的主要因素，我們更關心的是深度網絡的深度以及深度如何影響網絡的行為。因此，我們非常有必要擴大現有NNGP理論的范圍，將深度納入其中。具體來說，我們的好奇心是能否通過增加深度而不是寬度來推導出 NNGP？如果這個問題得到了肯定的回答，它將是現有理論的一個有價值的補充。由于在某種程度上存在寬度和深度之間的對稱性 [1]，我們認為在某些條件下加深神經網絡也可能導致 NNGP。

我們研究了如下圖所示的網絡架構。這種拓撲結構的特點是間隔hbar中間層的輸出在最后一層聚合，產生網絡輸出。這樣的網絡輸出會是一個高斯過程嗎？雖然當網絡無限深的時候，這個網絡的輸出也是可以無限多個變量聚合在一起，但是這些變量并不是獨立的。它們是隱含層的輸出，隱含層之間是有依賴關系的，因此我們不能簡單的用中心極限定理?？墒俏覀儼l現，當hbar很大的時候，被聚合的隱含層距離越來越遠，以致于它們之間的依賴會越來越小，最后這些變量可以滿足弱依賴的中心極限定理 [2]。結果也是一樣的，深度誘導的高斯過程存在！

[1] Fan, F. L., Lai, R., & Wang, G. (2020). Quasi-equivalence of width and depth of neural networks.?arXiv preprint arXiv:2002.02515.

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem

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簡要說下證明的思路，弱依賴里面有一種情形叫做beta-mixing，它的含義是說：一個變量的獨立分布的概率和這個變量相對于另外一個變量的概率的差是很小很?。ㄖ笖导墑e）。我們的證明就是創造條件讓beta-mixing成立。為此我們初始化權重和bias使其norm都不太大，然后我們增大hbar至無窮，由于復合作用，被聚合的隱含層的輸出之間影響將很小，滿足beta-mixing。證明摘要如下：

編輯：黃飛