上期講了電機繞組的基波感應電勢，接下來講電機繞組的諧波感應電勢。在實際的交流電機中，繞組的感應電勢波形中除了基波外，還存在著一系列高次諧波。空載感應電勢中的高次諧波主要由兩個方面的原因引起，一是主極磁場沿空間分布非正弦引起；二是由于定子表面開槽引起。本期先講第一個原因引起的電勢高次諧波，即主極磁場非正弦分布引起的諧波電勢。

1 主極磁場的空間分布

在凸極同步電機中，通常主極磁場沿電樞表面圓周分布是一個平頂波，如圖1所示，假設定子表面光滑不開槽，則把這個平頂波做傅立葉分解就會得到基波和一系列諧波，由于每個磁極都是相對于其中心線對稱的，而且N極和S極又是相對于其分割線上下反向對稱的，因此主極磁場所包含的高次諧波只有奇次諧波，即只有υ=1、3、5、7…次諧波。

說到這兒，經常有同學問一個問題，為什么只有奇次諧波？為什么沒有偶次諧波？先給這些同學們惡補一個數學知識。根據高等數學知識，任意一個滿足一定條件的周期函數都可以分解成一系列不同頻率的正弦函數和余弦函數之和，這就是傳說中的傅立葉分解。某些特定函數的傅立葉分解具有一些特定的規律，其中奇諧函數和偶諧函數的傅立葉分解就有著鮮明的特色。先說奇諧函數和偶諧函數的概念，注意是奇諧函數、偶諧函數，不是奇函數、偶函數！

所謂奇諧函數是指：若周期函數的圖像沿橫軸(自變量)平移半個周期后與原圖像相對于橫軸像對稱，即滿足：

f(x)=-f(x+T/2) ???????????????????????????(1)

其中T為函數的周期，則稱該函數為奇諧函數或半波對稱函數。

所謂偶諧函數是指：若周期函數的圖像沿橫軸平移半個周期后與原函數波形完全重合，即滿足：

f(x)=f(x+T/2) ???????????????????????????(2)

則稱該函數為偶諧函數或半周期重疊函數。

奇諧函數的傅立葉分解展開式中只含有正弦和余弦項的奇次諧波分量，而不含有偶次諧波分量；偶諧函數的傅立葉分解展開式中只含有正弦和余弦項的偶次諧波分量，而不含有奇次諧波分量。除了奇諧函數和偶諧函數外，還有既不是奇諧函數也不是偶諧函數的周期函數(不滿足上述奇諧函數和偶諧函數定義的周期函數)，它們的傅立葉分解展開式中則既含有正弦和余弦項的奇次諧波分量，也含有偶次諧波分量。

關于上述結論的證明，可以用傅立葉分解中各次諧波項系數的計算公式來證明，考慮到我們這里主要不是講高等數學的地方，就不詳細推導證明了，這里只給大家通俗地講一下其中的道理，以便大家理解。從圖1中的奇次諧波(1,3,5,7…次諧波)的波形不難看出，所有奇次諧波的波形沿橫軸平移半個周期后都與原波形相對橫軸像對稱，即奇次諧波函數都是奇諧函數；同理，你可以自己畫一下偶次諧波函數的圖像，可以發現偶次諧波都是偶諧函數。如果只有奇諧函數相加，得到的和也必然是奇諧函數；只有偶諧函數相加，得到的和則必然是偶諧函數。如果奇諧函數和偶諧函數混合相加得到的和，必然就既不是奇諧函數也不是偶諧函數。因此奇諧函數的傅立葉分解必然只包括奇次諧波；偶諧函數的傅立葉分解則只包括偶次諧波。對于電機中的主極磁場分布，由于N、S極分布對稱，且磁場方向相反，顯然屬于奇諧函數，因此主極磁場里只包括奇次諧波。如果每個磁極又是相對于自己的磁極中心線左右對稱，那么所含有的奇次諧波的初相角也都是一樣的，即各次諧波的波形都是從基波的初相角位置開始，如圖1所示。

惡補完數學知識，我們接著講主極磁場的高次諧波。如前所述，主極磁場包含著一系列空間奇次諧波，當主極旋轉時，主極磁場的基波和這一系列奇次諧波都隨主極一起旋轉，因此所有諧波磁場的轉速都與基波磁場轉速相同，都等于同步轉速n1。由圖1可見，υ次諧波磁場的極對數為基波的υ倍，而極距則為基波的1/υ，即高次諧波磁場具有以下特點：

nυ=n1

pυ=υ?p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(3)

τυ=τ/υ

2 繞組中感應電勢的高次諧波

和基波一樣，上述主極磁場的空間高次諧波以同步轉速旋轉時，同樣會在定子繞組中感應出頻率為fυ的諧波電勢，特別要注意！感應電勢的諧波是時間諧波！??！諧波電勢的計算方法與基波類似。電勢高次諧波的頻率：

fυ=pυ?n1/60=υ?p?n1/60=υ?f1?(4)

諧波電勢的有效值也參照那個著名的4.44公式計算，即：

Eφυ=4.44?fυ?Kdpυ?W?Φυ? ? ? ?(5)

式中：Φυ為υ次諧波的磁通。

Φυ=(2/π)?Bυ?τυ?l ????????????????????(6)

Kdpυ為υ次諧波的繞組系數。

對于υ次諧波，分布線圈之間相距的空間電角度為υ?α，它們所感應的電勢在時間上也相差υ?α電角度；而短距線圈的兩個線圈邊對基波的距離是Y1，對υ次諧波的距離則是υ?Y1，所以分別用υ?α和υ?Y1代替基波短距系數和分布系數公式中的α和Y1，即可得到υ次諧波的短距系數和分布系數，即：

Kdpυ=Kdυ?Kpυ

Kpυ=sin[υ?(Y1/τ)?90o] ???????????????(7)

Kdυ=[sin(υ?q?α/2)]/[q?sin(υ?α/2)]

3 定子開槽對感應電勢的影響

上述分析是在假設定子表面光滑不開槽的情況下推導出的結論，實際電機中定子繞組通常是嵌放在定子槽里的，由于定子槽口的影響，使得單位面積下的氣隙磁導變得不均勻，對應于齒的位置氣隙較小，單位面積下磁導較大；對應于槽的位置氣隙較大，單位面積下磁導較小。正是這種齒槽引起的氣隙磁導周期變化，使得原來的磁密分布發生了畸變，如圖2所示。圖2a為呈正弦分布的旋轉磁勢，圖2b為開槽后由于齒槽的“調制”作用，使得氣隙磁場發生了畸變，其磁密波變成一個在正弦基波基礎上疊加了一個齒磁導諧波磁場。這種畸變后的磁場會對在繞組中的感應電勢產生什么影響呢？

關于定子開槽對繞組感應電勢的影響分析起來非常復雜，特別是定量計算會涉及到繁雜的數學推導，我知道一提數學許多同學們頭就大，不要緊，我們先說出定子開槽對感應電勢影響的結論，關于后面的數學推導、證明之類的內容，有興趣的你就認真看，嫌頭大的你可以忽略后面的推導證明部分，重要的是你要記住以下結論！

重要結論！！！定子開槽對感應電勢的影響就是“種瓜得瓜種豆得豆”！定子開槽雖然使氣隙磁場波形發生了畸變，但它對繞組中感應電勢的影響，只是影響基波和諧波感應電勢的幅值大小，不影響諧波的頻率(次數)！也就是說，無論開槽與否，繞組中電勢的諧波次數與氣隙磁勢中的諧波次數都是一一對應的。在原來不開槽的情況下，氣隙磁勢中存在什么次數的諧波磁場，繞組中就會產生什么次數的諧波電勢；氣隙磁勢中不存在的諧波，繞組中也不會產生相應次數的諧波電勢。開槽后，同樣是不開槽時有什么次數的諧波磁勢，開槽后仍然只產生什么次數的諧波電勢；不開槽時沒有的磁勢諧波次數，開槽后照樣沒有該次諧波電勢。因此磁勢的諧波就像是一種“遺傳基因”，不會因為定子開槽而改變這種“遺傳基因”，使感應到繞組電勢中的諧波次數增加或減少，定子開槽只是影響諧波的大小，不會影響諧波的次數。因此我們把這個結論形象地稱作“種瓜得瓜種豆得豆”！

接下來我們就證明一下這個結論，對于數學基礎不好或不愿意就此深入探討的同學們可以跳過這一段，只記住上述結論即可。

我們知道，氣隙磁場是勵磁磁勢作用在氣隙磁導上的結果。在同步電機中，轉子勵磁電流產生的磁勢波，可分解為一個極對數為p的基波和一系列高次諧波。所有這些諧波磁勢都同時隨轉子以同步電機轉速n1旋轉。對于任一旋轉磁勢波產生的磁場：

Bυ=fυ?λδ ???????????????????????????????(8)

式中：fυ為υ次磁勢波，其轉速為n1，則：

fυ=Fυ?sin(υ?ωt-υpα) ???????????(9)

式⑻中：λδ為單位面積下的氣隙磁導。由于定子槽均勻分布于整個氣隙圓周，因此開槽后單位面積下的氣隙磁導沿氣隙圓周呈周期波動，這個周期變化的磁導波可以分解為原先不開槽時的氣隙磁導λ0和一系列與定子齒槽對應高次磁導諧波，如圖3所示。

單位面積下氣隙磁導表達式可寫成如下形式：

λδ=λ0+λ1?cos(Z?α)+λ2?cos(2Z?α)+λ3?cos(3Z?α)+…=λ0+∑λk?cos(k?Z?α) (10)

式中：k=1、2、3…

將⑼、⑽兩式代入⑻式，得：

Bυ=fυ?λδ=Fυ?sin(υωt-υpα)?[λ0+∑λk?cos(k?Z?α)]

=Bυ0?sin(υωt-υpα)+∑Bυk?sin[υωt-(k?Z+υ?p)α)]+∑Bυk?sin[υωt+(k?Z-υ?p)α)] (11)

式中：

Bυ0=Fυ?λ0 ?????????????????????????? ?(12)

Bυk=(1/2)?Fυ?λk ?????????????????(13)

由(11)式可見，任意一個υ次諧波磁勢都會在氣隙中產生三種諧波磁場：

①基本諧波磁場

其表達式為(11)式中的第一項，是一個極對數和轉速與產生它的諧波磁勢一樣的磁場，該磁場在定子繞組中感應出的電勢頻率為υ?p?n1/60=υf1。

②極對數為k?Z+υ?p的齒磁導波磁場

其表達式為(11)式中的第二項的和式，是一系列順轉(與基本諧波磁場同轉向)的諧波旋轉磁場，其極對數為k?Z+υ?p，即諧波次數為k?Z/p+υ，轉速為n1?υ?p/(k?Z+υ?p)，該磁場在定子繞組中感應出的電勢頻率為{υ?p?n1/[60?(k?Z+υ?p)]}?(k?Z+υ?p)=υ?f1。

③極對數為k?Z-υ?p的齒磁導波磁場

其表達式為(11)式中的第三項的和式，是一系列旋轉諧波磁場，其極對數為k?Z-υ?p，即諧波次數為k?Z/p-υ，轉速為n1?υ?p/(k?Z-υ?p)，其轉向為：當k?Z＞υ?p時為反轉；當k?Z＜υ?p時為順轉。該磁場在定子繞組中感應出的電勢頻率為{υ?p?n1/[60?(k?Z-υ?p)]}?(k?Z-υ?p)=υ?f1。

以上分析表明，υ次諧波磁勢所產生的所有諧波磁場，雖然受齒磁導波調制而表現出的極對數各不相同，轉速和轉向也各式各樣，但卻都在定子繞組中感應出相同頻率υ?f1的諧波電勢。這說明電勢中的諧波和磁勢中的諧波是一一對應的，υ次諧波磁勢只產生υ次諧波電勢。磁勢中存在什么諧波，電勢中就隨之產生同樣次數的諧波，磁勢中沒有的諧波，電勢中是不會出現的。大家在仿真時經常會看到氣隙磁密的波形非常難看，存在許多豁豁牙牙的齒諧波，但反電勢波形卻很漂亮，那些豁豁牙牙的諧波都不見了，反電勢波形很正弦，其道理就在于此，以后同學們遇到這種情況不必糾結，氣隙磁密波形“難看”，不一定意味著反電勢波形不好。綜上所述，我們就從理論上證明了“種瓜得瓜種豆得豆”的結論。

上述推導當υ=1時，便得到基波磁勢在氣隙中產生的磁場：除基波磁場外，還包括一系列齒磁導諧波磁場，它們的極對數為k?Z±p，次數為k?Z/p±1，轉速為n1?p/(k?Z±p)，定子繞組中感應出的電勢頻率為{p?n1/[60?(k?Z±p)]}?(k?Z±p)=f1，即基波磁勢只感應出基波電勢。這就意味著，只要勵磁磁勢正弦，則定子開槽是不會引起反電勢的高次諧波，這也給我們在電磁設計時提供了一個理論指導，那就是：優化反電勢的波形為正弦的一個重要途徑，是優化勵磁磁勢的波形，只要在定子不開槽時氣隙磁場波形正弦，那么無論定子開槽與否，反電勢波形都會是正弦的。具體的優化措施包括：極靴形狀、勵磁繞組分布、磁鋼的形狀及充磁方法等等。

如前所述，定子開槽只是影響電勢各次諧波的幅值，而不影響電勢諧波的次數。那么定子開槽對電勢各次諧波幅值的影響如何計算呢？也就是說定子開槽后各次諧波電勢幅值該如何計算呢？可以用前面講的⑸、⑹式來計算，但⑸、⑹式中其它各參數均可以很容易地得到，唯有各次Bυ的計算比較復雜，可以用(12)、(13)式計算，但問題又來了，(12)、(13)式中的Fυ與開槽無關，開槽只是影響了各次齒磁導λ0和λk，因此開槽后對各次諧波電勢幅值的影響，其實就是開槽對各次齒磁導諧波產生了影響，進而影響了諧波電勢的幅值，開槽后各次諧波電勢的計算，歸根結底是開槽后各次齒磁導諧波(λ0、λ1、λ2、λ3…)的計算。關于各次齒磁導諧波的計算，解析法通常用一些經驗公式和經驗曲線來近似等效計算，比如：對于氣隙平均磁導λ0的影響，通常是在不開槽時的氣隙長度δ基礎上乘以一個大于1的卡氏系數Kδ，即用Kδ?δ作為開槽后的等效氣隙長度來計算開槽后的平均磁導λ0，卡氏系數的大小與槽口、氣隙尺寸等因素有關，可以用一些經驗公式和經驗曲線獲得，也就是說，開槽對氣隙平均磁導的影響，可以看作是開槽導致了氣隙長度的增加效應來近似等效。其它各次齒磁導諧波也有各自不同的近似等效方法。雖然解析法可以用一些經驗公式和經驗曲線來近似等效計算各次齒磁導諧波，但計算起來仍然非常復雜，而且由于計算過程中采用了大量的假設和經驗公式和經驗曲線，使得計算精度受到一定的影響，在計算機仿真計算不太發達的過去，只能采用這些方法計算各次齒磁導諧波和各次電勢諧波。隨著計算機仿真計算的廣泛普及，各種專業的有限元仿真軟件功能已非常強大，因此本文就不再詳細介紹電勢諧波的解析計算方法了，建議實踐中采用先進的有限元仿真計算方法計算反電勢的各次諧波。

綜上所述，空載感應電勢中的高次諧波主要由兩個方面的原因引起，一是主極磁場沿空間分布非正弦；二是定子開槽影響。

編輯：黃飛

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