1 什么是含儲能的調度問題？

儲能是智能電網的重要環節，將儲能引入經濟調度可以實現削峰填谷和輔助新能源接入。含儲能的調度問題通常可以用圖1的數學模型描述（假定儲能充放電價格為輸入參數）：在儲能運行約束、機組運行約束和網絡約束等三類約束的作用下，力求達到最小化電網總運行費用。由于加入了儲能，在電網總運行費用中還必須多考慮兩點：儲能的充電費用和儲能的放電費用。

對于儲能的充電費用，如果充電價格為正，充電費用認為是由儲能支付給電網；如果充電價格為負，充電費用認為由電網支付給儲能。

對于儲能的放電費用，如果放電價格為正，放電費用認為是由電網支付給儲能；如果放電價格為負，放電費用認為是由儲能支付給電網。

如果儲能和電網簽訂了長期合同，調度時不考慮儲能的運行費用，此時可將充放電的價格設定為零。

2 含儲能調度問題的挑戰是什么？

和不含儲能的調度問題相比，所有含儲能的調度問題都會面臨一個共同的挑戰——儲能同一時刻不能既充電又放電，因此必須在約束條件中考慮這一特性。一個直觀想法是將儲能與電網交換的功率作為唯一的優化變量，充電時為正，放電時為負，但這種方法并不可行，因為儲能充放電的效率不同，而且充放電時價格和現金流向也不同（比如充電時儲能向電網付費，放電時電網向儲能付費），無法在優化模型中僅僅用一個連續變量來建模。因此，目前在相關研究中一般都用兩個獨立的優化變量（充電功率和放電功率）來對儲能進行建模，而這勢必就需要在優化模型中引入“互補約束”，即任一時刻任一儲能的充電功率×放電功率=0（如圖1所示）。顯然，引入這樣一個非線性的約束條件使得優化問題的非凸性極強，求解難度大。雖然通過引入罰函數、光滑函數或者離散變量等方法可將含互補約束的優化問題轉化為一般問題求解，但需要多次迭代求解同等規模的子問題，所以這類方法的計算時間通常較長，效率有待提高。

3 如何應對這一挑戰？——嚴格松弛方法

不難發現，整個問題的關鍵在于這個互補約束，如果它不存在，那么就可以轉化為常規的凸規劃問題，有成熟的方法進行求解，效率也非常高。那么，我們能不能在求解過程中故意地“無視”這個互補約束呢？也就是將這一約束在調度模型中直接松弛掉。本文想要回答的問題就是：在滿足什么特定條件的時候，這種松弛是“嚴格的”？即利用松弛后的簡化模型求解得到的最優解將“自然而然”地滿足“充電功率×放電功率=0”這一互補約束。如果能找到這樣的條件，而且這樣的條件在一般情況下還都能成立，那就意味著在很多時候我們可以把一個復雜的含儲能的優化調度問題顯著簡化，從而大大提高求解效率。

4 哪些條件能使松弛“嚴格”？

由數學反證法可知，只要同時滿足如下兩個條件，這種松弛就會是“嚴格的”。

條件1：對于任一儲能，在任意調度時刻，放電價格大于（或不小于）充電價格。

條件2：對于任一儲能，在任意調度時刻，充電價格不大于（或小于）節點電價。

這兩個條件的物理含義很清楚。從經濟學的角度，可以給出“嚴格”松弛一個直觀解釋：如果條件1和2都能夠滿足，那么從電網經濟運行的角度看，儲能同時充放電就是次優方案，而最優解則是松弛問題能夠“自然而然”地滿足互補約束。

5 如何判定這些特定條件能夠成立？

首先來看條件1，由于充放電價格（或預測值）是模型的輸入參數，所以很容易檢查，進而證明條件1成立。對于條件2，則需要通過歷史數據對調度時段內的節點電價進行預測，進而確定條件2是否能夠得到滿足。由于條件2只需比較充電價格和節點電價，所以如果發現充電價格低于節點電價預測值所處區間的下界，那么就可以判定條件2成立。

6 這些特定條件能否在一般情況下普遍成立？