什么是節(jié)點(diǎn)分析法？

節(jié)點(diǎn)分析法（節(jié)點(diǎn)電壓法、節(jié)點(diǎn)電位法）是一種電路分析技術(shù)，以電路中各節(jié)點(diǎn)（連接點(diǎn)）的電位作為未知量，運(yùn)用基爾霍夫電流定律（KCL）建立聯(lián)立方程進(jìn)行求解。作為與網(wǎng)孔分析法同樣重要的經(jīng)典電路分析方法，即使是包含眾多電阻和電源的復(fù)雜電路，利用該方法也能準(zhǔn)確求出各節(jié)點(diǎn)的電壓。本文將詳細(xì)闡述節(jié)點(diǎn)分析法的具體計(jì)算步驟。

節(jié)點(diǎn)分析法概述

節(jié)點(diǎn)分析法是將電路中各節(jié)點(diǎn)的電位作為未知量進(jìn)行定義，并運(yùn)用基爾霍夫電流定律（KCL）來(lái)表示流入和流出該節(jié)點(diǎn)的電流總和的分析方法。隨著電路復(fù)雜程度的增加，逐個(gè)追蹤各個(gè)電流和電壓的難度也越來(lái)越大。通過(guò)聚焦于節(jié)點(diǎn)間的電位差，可將問(wèn)題以聯(lián)立方程的形式進(jìn)行簡(jiǎn)潔明了的處理。在下圖示例中，未知節(jié)點(diǎn)被設(shè)為“節(jié)點(diǎn)V”，并將其電位作為未知量處理。

節(jié)點(diǎn)與參考節(jié)點(diǎn)（基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)）

通常會(huì)選擇電路中的任意一點(diǎn)作為參考節(jié)點(diǎn)（接地）。以該參考節(jié)點(diǎn)為參考點(diǎn)，將其他所有節(jié)點(diǎn)電壓均定義為相對(duì)于該點(diǎn)的相對(duì)電位。由于未知量的數(shù)量等于“節(jié)點(diǎn)數(shù)減1”，因此即使電路規(guī)模龐大，也可有效縮減聯(lián)立方程的規(guī)模。

節(jié)點(diǎn)分析法的理論基礎(chǔ)

節(jié)點(diǎn)分析法主要結(jié)合基爾霍夫電流定律（KCL）和歐姆定律進(jìn)行分析。KCL表明流入節(jié)點(diǎn)的電流總和等于流出節(jié)點(diǎn)的電流總和，而歐姆定律則揭示了電壓與電流之間的線性關(guān)系。通過(guò)與這些定律相結(jié)合，為各節(jié)點(diǎn)建立方程并求解聯(lián)立方程，即可完成整個(gè)電路的分析。

基爾霍夫電流定律（KCL）的應(yīng)用

對(duì)于單一節(jié)點(diǎn)而言，流入該節(jié)點(diǎn)的電流總和與流出該節(jié)點(diǎn)的電流總和相等：

i1+i2+?+in=0

這是節(jié)點(diǎn)分析的基本方程。

歐姆定律與阻抗

各支路電流可由元器件兩端的電位差除以電阻或阻抗來(lái)表示。

電阻R時(shí)：

同樣地，電容和電感分別以頻域中的阻抗jωL和1/(jωC)來(lái)表示。

節(jié)點(diǎn)分析的基本步驟

下面是分階段實(shí)施節(jié)點(diǎn)分析的步驟及注意事項(xiàng)。即使是大規(guī)模的復(fù)雜電路，只要按步驟進(jìn)行，也可高效率地求解未知節(jié)點(diǎn)電壓。本節(jié)將詳細(xì)闡述采用矩陣形式（矩陣法）的計(jì)算過(guò)程（含中間步驟）。

第一步：選擇參考節(jié)點(diǎn)

將電路中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)設(shè)為參考節(jié)點(diǎn)（接地，0V）。通常，選擇連接元器件最多的節(jié)點(diǎn)或?qū)嶋H電路中用作接地端子的節(jié)點(diǎn)，可減少未知量，使計(jì)算更簡(jiǎn)單。

參考節(jié)點(diǎn)選擇要點(diǎn)

選擇連接多個(gè)元器件（電阻、電源、負(fù)載等）的節(jié)點(diǎn)更容易建立方程。

在同時(shí)存在直流電（DC）和交流電（AC）的多電源混合電路中，可能有些復(fù)雜，但選擇能使計(jì)算后的處理更簡(jiǎn)單的節(jié)點(diǎn)作為參考點(diǎn)更為有利。

第二步：定義節(jié)點(diǎn)電壓

給參考節(jié)點(diǎn)以外的各節(jié)點(diǎn)分配電壓V1,V2,?…,Vn設(shè)總節(jié)點(diǎn)數(shù)為N時(shí)，未知量為（N?1）個(gè)。即使是大規(guī)模電路，也可明確變量的數(shù)量。

第三步：建立各節(jié)點(diǎn)的KCL方程

關(guān)于各節(jié)點(diǎn)

Σ(流入電流)=0

對(duì)于電阻和阻抗而言，均可運(yùn)用歐姆定律來(lái)表示電流。

例如，節(jié)點(diǎn)V通過(guò)電阻R1連接至電壓源E1（左側(cè)節(jié)點(diǎn)），并進(jìn)一步通過(guò)電阻R2和R3連接至參考節(jié)點(diǎn)G=0V時(shí)，針對(duì)節(jié)點(diǎn)V的KCL方程為：

中間計(jì)算詳細(xì)示例

設(shè)R1=3Ω、R2=6Ω、R3=9Ω、電壓源E1=12V、未知節(jié)點(diǎn)電壓為V則

在這里基于KCL得出的方程，也稱為“節(jié)點(diǎn)方程（節(jié)點(diǎn)電壓方程）”。當(dāng)存在其他節(jié)點(diǎn)時(shí)，也可以同樣地建立相應(yīng)的方程，通過(guò)聯(lián)立求解得出各節(jié)點(diǎn)的電位。

第四步：整理為矩陣形式并求解

將聯(lián)立方程整理為導(dǎo)納矩陣G與未知節(jié)點(diǎn)電壓向量V的乘積GV =I后，便可進(jìn)行系統(tǒng)性處理。當(dāng)未知量較多時(shí)，可采用計(jì)算機(jī)的聯(lián)立線性方程組求解器（矩陣求解器），只要正確構(gòu)建矩陣G即可通過(guò)V=G?1I求解。

矩陣法示例

未知量中包含節(jié)點(diǎn)電壓和部分電流時(shí)的步驟如下：

將KCL、電壓源的約束矩陣化

通過(guò)逆矩陣或高斯消元法等直接的方法求解GV =I

補(bǔ)充說(shuō)明：對(duì)于電壓源較多且回路數(shù)較少的平面電路，采用網(wǎng)孔分析法可能會(huì)使未知量更少。

超節(jié)點(diǎn)的處理

當(dāng)兩個(gè)非參考節(jié)點(diǎn)之間直接連接獨(dú)立電壓源時(shí)，僅靠常規(guī)的KCL方式是不夠的。這種情況稱為“超節(jié)點(diǎn)”，需要添加電壓約束方程。

超節(jié)點(diǎn)的概念

在將電壓源連接的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)視為一個(gè)“合成節(jié)點(diǎn)”并應(yīng)用KCL時(shí)，需同時(shí)添加電壓條件：V1?V2=電壓源。

注意電壓源的極性

如果將V1?V2=VS或V2?V1=VS處理錯(cuò)誤，將會(huì)導(dǎo)致符號(hào)錯(cuò)誤。

超節(jié)點(diǎn)方程和中間計(jì)算

例如，節(jié)點(diǎn)A和節(jié)點(diǎn)B通過(guò)電壓源VS相連，且各自對(duì)參考節(jié)點(diǎn)存在電阻時(shí)：

KCL（超節(jié)點(diǎn)整體）(V1?0)/R1+(V2?0)/R2+…=0

電壓約束V1?V2=VS

將兩者整合至GV =I中。

節(jié)點(diǎn)分析法的實(shí)踐案例

下面是一個(gè)使用代入了具體數(shù)值的電路、分步驟進(jìn)行節(jié)點(diǎn)分析的示例。示例中也給出了在不省略中間計(jì)算步驟的情況下，同時(shí)將電流和節(jié)點(diǎn)電壓納入矩陣解的分析方法。

問(wèn)題設(shè)定

求包含多個(gè)電壓源和電阻的電路（如下圖所示）中的節(jié)點(diǎn)電壓V1,V2與支路電流I1,I3。

電壓源（相對(duì)于0V參考節(jié)點(diǎn)）E1=12V

電阻R1=3Ω,R2=6Ω, R3=9Ω, R4=12Ω, R5=15Ω

具體示例（未知量的選定）

節(jié)點(diǎn)電壓V1,V2

支路電流I1,I3

聯(lián)立方程的構(gòu)建

KCL（節(jié)點(diǎn)V1）

KCL（節(jié)點(diǎn)V2 ）

構(gòu)建GV=I

數(shù)值代入及計(jì)算

代入數(shù)值

支路電流計(jì)算

在交流電路和頻域中的擴(kuò)展應(yīng)用

節(jié)點(diǎn)分析法不僅適用于直流電路，同樣也適用于交流電路。在交流分析中，將電感和電容的頻率依賴性作為阻抗Z來(lái)處理，并像直流分析一樣建立節(jié)點(diǎn)方程。

電感L：ZL =jωL

電容C：ZC = 1/(jωC)

阻抗R：ZR =R

復(fù)數(shù)分析和矩陣形式

復(fù)數(shù)分析

在正弦波激勵(lì)的情況下，各節(jié)點(diǎn)電壓用復(fù)數(shù)表示，KCL用復(fù)數(shù)阻抗進(jìn)行表述。其中，阻抗Z是指電阻、電感、電容等元件對(duì)交流電流呈現(xiàn)的頻率依賴阻力。例如，阻抗Z所連接的節(jié)點(diǎn)電壓V和VX，其電流可表示為i= (V–VX)/Z。

最終可獲得復(fù)數(shù)形式的節(jié)點(diǎn)電壓。

頻域的矩陣形式

定義節(jié)點(diǎn)和參考節(jié)點(diǎn)

確定各R,L,C

以復(fù)數(shù)阻抗來(lái)表述KCL

整理為Y(ω)V=I(ω)

用復(fù)線性代數(shù)求解V通過(guò)掃描頻率可獲得伯德圖等頻率響應(yīng)特性。

節(jié)點(diǎn)分析法在非線性大規(guī)模電路中的擴(kuò)展應(yīng)用

實(shí)際的電子電路中，包含多個(gè)受控源、二極管和晶體管等非線性元器件，甚至在IC芯片內(nèi)部也存在數(shù)十萬(wàn)至數(shù)百萬(wàn)個(gè)節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)分析法作為一種通用的計(jì)算框架，可擴(kuò)展應(yīng)用于眾多場(chǎng)景。

四種受控源的處理

受控源有四種類(lèi)型：電壓控制電壓源（VCVS）、電流控制電壓源（CCVS）、電壓控制電流源（VCCS）、電流控制電流源（CCCS）。它們的輸出取決于電路內(nèi)部其他節(jié)點(diǎn)所測(cè)得的電壓或電流。

VCVS、CCVS（受控電壓源）：在矩陣中添加電壓約束行（CCVS需將控制電流IX作為新變量導(dǎo)入）

VCCS、CCCS（受控電流源）：在相應(yīng)導(dǎo)納項(xiàng)中添加系數(shù)（VCCS為gm，CCCS為k等）

非線性元件的線性化與迭代解法

當(dāng)電路中含有非線性元件時(shí)，I–V特性將不再保持線性比例關(guān)系，此時(shí)節(jié)點(diǎn)方程將變?yōu)榉蔷€性聯(lián)立方程。所以按照如下步驟

假設(shè)工作點(diǎn)（初始偏置）

在這一點(diǎn)上進(jìn)行泰勒展開(kāi)，僅采用一次項(xiàng)（線性化）

通過(guò)牛頓迭代法等迭代解法進(jìn)行解的更新

重復(fù)①?③直至解收斂。這樣，即使電路中含有非線性元件，每個(gè)步驟仍可按線性節(jié)點(diǎn)分析法進(jìn)行處理。

在仿真工具中實(shí)裝（SPICE等）

SPICE類(lèi)仿真工具會(huì)在內(nèi)部進(jìn)行節(jié)點(diǎn)分析。

將各元件展開(kāi)至節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣

自動(dòng)執(zhí)行上一節(jié)所述的線性化和迭代步驟

輸出收斂后的節(jié)點(diǎn)電壓和元件電流

用戶只需繪制電路圖，軟件便會(huì)自動(dòng)為各節(jié)點(diǎn)編號(hào)，并基于KCL求解方程。

半導(dǎo)體電路設(shè)計(jì)中的可擴(kuò)展性

在IC中，雖然寄生電阻、電容和電感的存在會(huì)導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)數(shù)量急劇增長(zhǎng)，但方法論本身并無(wú)本質(zhì)差異。

即使矩陣規(guī)模擴(kuò)大，只要采用稀疏矩陣求解器或迭代預(yù)處理方法，仍可將計(jì)算量控制在線性至準(zhǔn)線性范圍內(nèi)。

因此，在保持晶體管級(jí)詳細(xì)模型的同時(shí)，可對(duì)整個(gè)芯片進(jìn)行時(shí)序分析和電源完整性分析。

與網(wǎng)孔分析法的比較

另一種主要分析方法是網(wǎng)孔分析法（基于KVL、以回路電流為未知量），需根據(jù)電路結(jié)構(gòu)和元件情況區(qū)分使用。

適用范圍和選擇指南

在回路較少的平面電路中，采用網(wǎng)孔分析法可以減少待求未知量，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

在電壓源較多的電路或無(wú)法平面繪制的立體結(jié)構(gòu)電路中，節(jié)點(diǎn)分析法往往步驟更為簡(jiǎn)潔且易于處理。

在元器件數(shù)量較多的大規(guī)模電路中，由于節(jié)點(diǎn)分析法可直接構(gòu)建矩陣，因此即使電路規(guī)模擴(kuò)大，計(jì)算時(shí)間也不會(huì)急劇增加，能夠利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行高效處理。

在小規(guī)模電路的手工計(jì)算中，采用網(wǎng)孔分析法與節(jié)點(diǎn)分析法相結(jié)合的混合分析法同樣行之有效。在這種混合分析法中，首先采用網(wǎng)孔分析法求解回路電流，然后利用該結(jié)果重新計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的電位。通過(guò)先確定電流，可更輕松地處理僅憑節(jié)點(diǎn)分析法難以應(yīng)對(duì)的電壓源和公共電阻的影響，這一優(yōu)勢(shì)使得即便采用手工計(jì)算也很容易保持解的一致性。

結(jié)論

節(jié)點(diǎn)分析法是一種強(qiáng)大且系統(tǒng)化的電路分析方法。這種方法將各節(jié)點(diǎn)電壓作為未知量處理，不僅適用于電阻電路，還適用于采用復(fù)數(shù)阻抗的交流分析，以及基于線性化、迭代法的非線性電路分析。通過(guò)施加約束條件，還可處理超節(jié)點(diǎn)等特殊情況。SPICE和眾多仿真工具都是基于該原理構(gòu)建的，是現(xiàn)代電子電路設(shè)計(jì)中不可或缺的分析方法。深入理解節(jié)點(diǎn)分析法，可從容應(yīng)對(duì)大規(guī)模復(fù)雜電路。