什么是網孔分析法

網孔分析法（網孔電流法、回路電流法）是一種電路分析的基本方法，該方法將導線互不交叉的平面電路中的每個網孔電流設為未知量，并根據基爾霍夫電壓定律（KVL）建立聯立方程組，從而求解電壓和電流。它是與節點分析法并列的代表性電路分析方法，尤其能夠高效地求解具有多個電壓源的電路。若能靈活運用這兩種方法，就可以應對更廣泛的電氣網絡。接下來我們將詳細介紹網孔分析法的原理、基本步驟以及如何將其拓展應用于包含多個電源和受控源的復雜電路。

網孔分析法概述

網孔分析法的前提是目標電路為平面電路。該方法為每個閉合回路（即網孔）分配一個網孔電流作為未知量，并根據電路元件、電源和KVL建立聯立方程組。由于大多數示例電路都是平面電路，因此該方法具有適用性強的特點。

與基爾霍夫定律的關系

電路分析的基礎是基爾霍夫電壓定律（KVL）和基爾霍夫電流定律（KCL）。網孔分析法主要利用KVL來建立各回路的方程（回路電流方程）。對于每個獨立的閉合路徑（即網孔），通過網孔電流或網孔電流之差來表征電路元件上的電壓降或電壓升。另外，上圖是一個不含電源的回路，僅用于展示KVL的列寫方法，其中i1=0是因為沒有電源。在包含電源E的一般形式中，會變成R∑i1=E等形式，請注意后文示例中討論的是包含電源的情況。例如，在雙網孔電路中，若將網孔電流命名為I1和I2，那么對每個回路應用KVL，就可以得到兩個聯立方程組。

網孔分析法的優點和適用范圍

網孔分析法的優點在于能夠減少未知量的數量，尤其是在包含多個電壓源的平面電路中。這種通過識別閉合回路來設置網孔電流的直觀方法，在初學階段或設計初期也是非常容易掌握的分析手段。

另一方面，對于立體布線等非平面電路，網孔的定義會變得困難甚至無法實現。這種情況下，采用節點分析法等其他方法更為合適。

基本步驟和示例

在網孔分析法中，需要定義圍繞閉合回路流動的網孔電流，并對每個回路應用KVL。以下Step將采用僅包含電阻和電壓源的簡單案例來說明標準分析步驟。

Step?1：分配網孔電流

首先確認電路是平面電路，然后為每個基本網孔（不包含其他回路的最小閉合路徑）設置任意方向的網孔電流。按照慣例，若將所有網孔均設為順時針方向，會更易于進行符號管理。

Step?2：對每個網孔應用KVL

對每個網孔應用KVL，并用網孔電流表示每個元件的電壓降或電壓升。當網孔間共有元件時，該元件的電壓用網孔電流的差值來表示。
針對每個網孔，沿著回路應用KVL。需注意電流是如何流過每個電路元件的，回路內有電壓源時需注意其極性。當兩個網孔共有一個電路元件時，需要用兩個網孔電流在該元件內流動方向相反時的差值來表示該元件的電壓降。

例如，考慮一個具有網孔電流I1和I2的雙回路電路。假設第一個回路有電阻R1、R2和電壓源E1，第二個回路與第一個回路共有電阻R2，并另含電阻R3。對每個回路列寫KVL，可以得到如下方程組：

具體示例：雙回路電路

網孔1：電阻R1=10Ω，互電阻R2=20Ω，電壓源E1=5V

網孔2：互電阻R2=20Ω，電阻R3=30Ω

將網孔電流i1、i2定義為順時針方向

對網孔1應用KVL：

代入數值：

對網孔2應用KVL：

代入數值：

Step?3：確認未知變量的數量

如果存在n個獨立網孔，通常可以得到n個網孔電流和n個KVL方程。若存在受控源，需要補充約束關系方程組，并確認未知量數量與獨立方程數量一致。

Step?4：求解聯立方程組

求解示例

求解（1）（2）可得：

互電阻R2的電流為i1?i2≈0.14A，電壓降約為2.73V。

對于小規模電路，采用代數消元法和代入法就足夠了，但當網孔數量較多時，整合成矩陣形式并運用線性代數方法（或電路仿真器）求解會更高效。

基于矩陣形式的網孔分析法

當含有多個電壓源或三個以上的回路時，手動求解所有的聯立方程組將變得十分困難。在這種情況下，將方程組轉換為矩陣形式，并應用標準的線性代數步驟（或電路仿真和軟件），能夠使分析更加系統化。下面將介紹網孔分析法中矩陣表達式的建立方法和求解步驟。

矩陣形式的建立

矩陣形式的通用形式如下：

Ax=B

A：包含每個網孔的等效電阻和共有元件的系數矩陣

x=(i1,i2, …,in)T：網孔電流向量

B：電壓源等常數項向量

在雙網孔示例中，可以進行如下轉換：

方程組：

矩陣形式：

通用矩陣表達式A、X、B：

求A的矩陣方程：

求A的逆矩陣（2×2較為容易）：

計算X=A?1B：

結果與之前求得的解一致。

三回路以上的網孔分析法

對于具有特定共有元件和電壓源的三回路電路，會生成一個可求解i1、i2、i3的矩陣方程組。由此求出電路中任意支路的電流或電壓降。

對于大規模或復雜的電路，使用電路仿真器等軟件（MATLAB和Python等）處理會更為簡便。可以根據具體情況選擇更優的解法，如矩陣展開法或消元法等系統性的方法來求解。

交流電路中的拓展應用
只需將電阻R替換為復阻抗ZR=R，電感L替換為ZL=jωL，電容C替換為ZC=1/jωC，即可用相同的矩陣表達式來求解頻率響應。

超網孔的概念

當電流源等電路元件位于兩個網孔的邊界時，很難直接列寫出這些網孔的KVL方程。在這種情況下，通常會采用超網孔分析法。超網孔是通過將兩個網孔合并成一個避開電流源支路的大回路而形成的。當包含二極管和晶體管等非線性元件時，需利用在工作點線性化并每次更新回路矩陣直至收斂的方法（牛頓-拉夫遜法）等。

什么是超網孔

當電流源等元件位于兩個回路之間時，就會出現這種情況。由于施加在該電流源上的電壓降可能是未知的（不能通過簡單的歐姆定律關系直接給出），因此需暫時將兩個網孔視為一個不包含電流源支路的擴展回路，并圍繞這個大閉合路徑應用KVL。同時，補充一個與已知電流源IS值相關的約束方程（示例中為IS=i1–i2），從而求解未知電流。同樣的思路可進一步擴展到多個電流源或受控電流源中。當因圖示的需要而將其中一個網孔電流繪制成逆時針方向時，表達式可能呈現為i1+i2=IS，但如果將i2的方向統一后重新列寫，該式將與i1–i2=±IS完全等價。

超網孔的應用示例

假想網孔1和網孔2之間存在電流源IS的情況，并定義網孔電流i1和i2。跳過電流源支路，創建一個合并了回路1和回路2的超網孔。針對這個超網孔列寫一個KVL方程，并利用兩個網孔電流的差值等于IS這一關系，由此即可獲得求解i1和i2所需的聯立方程組。

含受控源電路中的應用

網孔分析法并不僅限于純電阻電路或基于電壓源的電路。只要電路保持平面結構，或者能夠運用超網孔的概念進行處理，該方法也可適用于含獨立電流源、受控電壓源及受控電流源的電路。

獨立電流源

當獨立電流源完全位于回路內部時，改用節點分析法或采用其他方法處理該回路可能更為便捷。當電源被兩個網孔共有時，通常需要采用超網孔分析法，或者也可以考慮能否通過節點分析法來減少未知量的數量。最終根據未知的網孔電流數量、回路方程的數量以及所需獨立方程的數量來決定。

受控源

受控源有四種類型：電壓控制電壓源（VCVS）、電流控制電壓源（CCVS）、電壓控制電流源（VCCS）、電流控制電流源（CCCS）。在任何情況下，其輸出都取決于電路中其他位置測量到的電壓或電流。

VCVS和CCVS（受控電壓源）：在回路方程中補充α×ix或β×vx

VCCS和CCCS（受控電流源）：補充超網孔或控制變量方程

這些關系需要明確地引入到聯立方程組或矩陣形式中。這種方法雖然有效，但要注意符號規則和控制變量。

與節點分析法的比較

網孔電流分析和節點分析法經常會引發這樣的疑問：“在什么情況下應該選用哪種方法？”。

節點分析法基于基爾霍夫電流定律（KCL）來設定未知的節點電壓，而網孔分析法則基于基爾霍夫電壓定律（KVL）來設定未知的回路電流。
對于相同復雜度的電路，求解網孔電流方程通常比節點電壓法所需的方程數量少。尤其是在電壓源分布廣泛且電路布局規整的平面電路情況下。

電源的類型、分布情況和判斷標準

電壓源較多且為平面電路 → 宜采用網孔分析法

電流源分布廣泛或非平面電路 → 宜采用節點分析法

這些指導原則并不是絕對的，選擇網孔分析法還是節點分析法時，需要比較兩種方法各自需要求解的未知量數量、電壓源和電流源的分布情況以及電路是否為平面電路，從而確定更優方法。

總結

網孔分析法特別適用于導線互不交叉的平面電路，在以電壓源為主的電路中，往往能夠減少未知量的數量。采用矩陣形式后，即使是規模龐大或結構復雜的電路也能進行系統性地求解。另一方面，對于含多個電流源的電路或非平面電路，采用節點分析法等其他方法更為合適。通過同時掌握網孔分析法和節點分析法，可以大大拓寬從基礎理論的學習到實際設計與仿真中電路分析的選擇范圍。