華東師范大學(xué)精密光譜科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室曾和平教授課題組在激光領(lǐng)域取得重要進(jìn)展，該團(tuán)隊(duì)首次揭示了呼吸子超快激光器中的分形動(dòng)力學(xué)。研究成果“Farey tree and devil’s staircase of frequency-locked breathers in ultrafast lasers”于2022年10月發(fā)表于Nature Communications上。曾和平教授和彭俊松研究員為論文的共同通訊作者，博士生吳修齊和張穎分別為論文的第一、第二作者。合作者包括英國(guó)阿斯頓大學(xué)的S.Boscolo博士和法國(guó)勃艮第大學(xué)的C.Finot教授。

“分形”一詞由數(shù)學(xué)家Benoit Mandelbrot在1975年首次提出，并由此誕生了一門新的學(xué)科-分形幾何學(xué)。Mandelbrot將分形定義為“分形是局部和整體以某種方式相似的形狀”。分形在自然界中的一個(gè)典型例子是西蘭花，西蘭花每一個(gè)分支和整體的形狀都是相似的。雖然分形最初只是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，但已經(jīng)在眾多系統(tǒng)中被觀察到，例如材料學(xué)、生物學(xué)、神經(jīng)學(xué)、電路、網(wǎng)絡(luò)、地理和股票價(jià)格波動(dòng)等。2000年，光學(xué)孤子和分形之間的聯(lián)系在理論上被建立起來（Phys. Rev. Lett. 84, 1902， 2000)。由于光孤子較為穩(wěn)定，將其“分形”為多個(gè)分支需要對(duì)傳輸介質(zhì)（例如光纖）的物理性質(zhì)進(jìn)行多次改變，且需要在多個(gè)位置對(duì)光孤子進(jìn)行探測(cè)。這些條件在實(shí)驗(yàn)上很難實(shí)現(xiàn)，相關(guān)實(shí)驗(yàn)幾乎無法開展。

曾和平教授團(tuán)隊(duì)另辟蹊徑，提出并證明了激光器中的呼吸孤子(或呼吸子)可構(gòu)成分形。呼吸子是參數(shù)周期性變化的局域化波包。由于呼吸子與湍流、混沌、極端事件、調(diào)制不穩(wěn)定性等非線性現(xiàn)象密切相關(guān)，獲得了學(xué)界的廣泛關(guān)注。該工作首次將呼吸子和分形聯(lián)系起來。研究發(fā)現(xiàn)呼吸頻率(呼吸子演化周期的倒數(shù))與激光器重復(fù)頻率(由激光器長(zhǎng)度決定)的比值隨著光強(qiáng)的變化會(huì)出現(xiàn)一系列平臺(tái)（階梯）。平臺(tái)的出現(xiàn)表明此時(shí)該比值是個(gè)常數(shù)。這些平臺(tái)對(duì)應(yīng)的數(shù)值展現(xiàn)出經(jīng)典的分形結(jié)構(gòu)-法里樹。該分形結(jié)構(gòu)被稱為魔鬼階梯是因?yàn)槠浞中尉S度的大小和魔鬼階梯一致，均為0.87。平臺(tái)上對(duì)應(yīng)的呼吸子被稱為頻率鎖定呼吸子，因?yàn)槠浜粑l率自發(fā)地鎖在激光器重復(fù)頻率上，在外界擾動(dòng)下保持不變。其頻率穩(wěn)定性比沒有鎖定的呼吸子高3000倍左右！

分形呼吸子的另一個(gè)特點(diǎn)是可以產(chǎn)生不受激光器腔長(zhǎng)限制的密集頻率梳。例如，該工作展示了該激光器出射的激光的梳齒密度比相同腔長(zhǎng)的激光器大幅增加了41倍，從而實(shí)現(xiàn)了亞兆赫茲間距的頻率梳。普通激光器要實(shí)現(xiàn)亞兆赫茲的梳齒間距，需要百米量級(jí)的腔長(zhǎng)，因此很不穩(wěn)定。由此可見，基于分形的呼吸子激光器作為替代方案有很強(qiáng)的吸引力。