眾所周知，有限元分析中的應力計算是一個人們經常討論的話題。本文結合前段時間一位名叫Marcus的網友(以下簡稱小M)發來的問題，從另一個工程師們常常忽略的方面——軟件繪圖顯示設置的角度來談談應力結果的問題，希望能引起讀者的思考和共鳴。

一、寫在文前

實際上，有限元模型的應力解答分成很多種，以ANSYS軟件為例，在Mechanical APDL和Mechanical（WB）中就包括積分點應力、單元節點應力、平均節點應力、僅表面平均的節點應力、跨體平均節點應力、不跨體平均節點應力等等。即便是基于同一個結果文件，繪制出來的應力分布圖也會有所差異。

在很多情況下，不同軟件之間比較計算結果也存在類似的問題。在比較有限元分析的應力結果時，也需要統一顯示選項的標準。是不是感覺會有點繞 ？當然這里說的顯示選項統一，并不總能保證可以發現結果在精度上是否存在問題，但也的確是軟件使用者不能忽視的問題的另一個方面。下面來看具體的問題。

二、教你識別應力結果顯示中的“假象”

小M最初發來的問題，只是兩張在ANSYS Mechanical APDL中顯示的應力分布圖片，他發現在不同的顯示模式下，應力等值線圖中標注的最大應力值存在著明顯的差異，那么到底哪個才是對的呢？

針對這個問題，我幫他進行了分析。在討論問題的過程中，小M又陸續發來了一系列不同模型的計算結果的圖片，這些進一步豐富了我們下面所要討論的問題。

實際上，這個問題至少可以從顯示模式、單元類型、網格密度等幾個不同的方面來進行討論。為了讓讀者能跟上我們的思路，還是大致按照小M的提問和我的回答過程來敘述這個問題。

1、線性四面體單元較粗網格劃分的情況

小M最初發來的是兩張如下所示的應力等值線圖。

在這個問題中，涉及到Mechanical APDL中增強圖形顯示模式。可能現在使用Mechanical APDL的用戶已經不多，更多的用戶會選擇使用ANSYS Workbench中的Mechanical進行結構計算。不過即使是Workbench用戶，繼續閱讀本文下面的內容也會有所啟發，因為相關問題的背景原理是相通的。

在這兩張應力圖中，增強顯示模式的應力最大值大約為218，而非增強模式則約為204，差異還是很明顯的。那么應以哪一個為準呢？我第一反應是這個問題的網格是不夠精密的，所以就讓小M發一下這次計算所采用的網格圖。

如下圖所示，這是他發來的網格圖，這次計算是采用的線性的四面體單元。

為了跟后面的計算結果相區別，我們姑且將這個模型稱之為較粗的線性四面體網格模型。

我在看到這個網格后，建議小M加密網格再來算一次，一方面能夠縮小兩種顯示模式下的應力值的差距，另一方面，也必然能夠得到更精確的結果。

2、局部加密的線性四面體網格情況

小M也是很認真，加密到局部幾乎是黑乎乎的程度，以至于不得不將視圖局部放大，才能看到所關心部位在加密后的網格情況，如下圖所示。

基于局部加密后的網格，分別得到增強顯示模式以及非增強顯示模式下的應力分布結果如下圖所示。

從上述顯示的應力結果可知，是否采用增強顯示模式，最大應力值已經幾乎沒有什么差異了。而且顯示的應力最大值也與較粗網格的結果有了顯著的不同，精度的話肯定提高了，但是顯示云圖上似乎毛毛刺還不是很“絲滑”，這個結果的精度到底怎么樣呢？這可能還需要結合其他單元的計算結果進行橫向的綜合比較。由此可見，線性的四面體單元的確效率不高，因為網格的確已經很密了。

那么，能不能基于上述結果簡單下結論，即：網格較粗時不同顯示模式的應力數值就會有顯著差異，而細致一些的網格就不會有差異呢？答案其實是否定的。目前只能說，線性四面體單元加密后的計算結果，對于顯示模式變得不敏感了。

另一方面，四面體網格的應力結果在不同顯示模式下的差異暴露出了計算精度（網格密度）方面存在的問題。但是，能不能反過來說不同顯示模式下沒有差異，就說明精度足夠呢？答案同樣是否定的。

What？網友小M感覺已經被我徹底繞暈了！可能很多讀者讀到這里時也都有著和小M一樣的感受吧？

為了繼續解答大家的疑問，我們接著往下看小M同學分析的六面體網格情況。

3、較粗的線性六面體網格劃分情況

如下圖所示為線性的六面體單元的網格，為了與后面的計算相區分，我們姑且稱之為較粗的線性六面體單元網格。注意，這個模型并非全六面體網格，但至少在關心的區域是六面體的。

基于這一網格計算的應力解答，分別在增強顯示模式和非增強顯示模式下提取應力分布圖，如下圖所示。

由上述計算結果可以發現，采用線性的六面體網格劃分時，即使網格較粗，但是打開和關閉增強顯示模式，等值線圖顯示的應力最大值卻幾乎沒有差異。

但是另一方面，也注意到應力的數值和前面加密的線性四面體網格相比，卻有著顯著的差別。即便應力的分布較為“絲滑”，也不能夠認定其是準確的。

小M認為，既然這個粗的六面體網格的結果在兩種顯示模式下都沒有區別了，那么這個線性六面體單元加密后應該更加沒有區別。饒是如此，他還是計算了下面的加密線性六面體網格的情況。

4、較細的線性六面體網格情況

小M繼續發來了較細的線性六面體單元網格圖，如下圖所示。

基于局部加密的線性六面體單元計算的應力結果，分別得到增強和非增強兩種圖形顯示模式下的應力分布圖如下。

由上述計算結果可知，線性六面體單元在網格加密后的結果不出所料，對不同的顯示模式依然不敏感。另一方面，從應力的最大數值上來看，倒是與加密的線性四面體網格的計算結果較為接近了。

5、較粗二次單元四面體網格情況

緊接著，小M又計算了二次單元的四面體網格情況，網格密度大致與前面線性四面體單元較粗的網格水平相當，如下圖所示。

基于這個網格的應力計算結果，分別提取了打開或關閉增強顯示模式下的應力等值線圖，如下圖所示。

由上述結果可知，采用二次的四面體單元進行劃分時，不同顯示模式的結果還是有著比較明顯的差異，但這種差異顯然沒有線性單元那么顯著。另一方面，從應力的最大值角度來看，與前面加密網格的線性四面體單元、線性六面體單元的結果也都很接近了。

至此，很多人可能還想看看二次四面體網格加密情況的計算結果，實際上已經沒有必要了。

三、結果匯總與討論

為了對計算結果進行比較，首先把以上各種情況的結果匯總到下面的表格中，圖中應力數值均精確到整數。

由上述表格中匯總的數據比較，結合ANSYS手冊中關于增強顯示模式的說明，可以得到如下幾點認識或結論：

1、結論總結

(1)無論線性單元還是二次單元，當采用四面體劃分時，是否選擇增強模式顯示，應力結果的最大值都存在顯著的差異。之所以會有這樣的差異，是由于增強顯示模式在顯示應力解時，只針對實體的外表面單元進行平均，而不考慮內部單元。如果四面體單元在外表面僅有一個節點而其余部分均處于體的內部時，顯然是不參與計算的，因此四面體單元無論是線性還是二次，在兩種模式下顯示的應力結果會有顯著差異。而且，由于打開增強模式時，由于參與平均的單元數少且表面應力值一般較大，因此其顯示的數值一般更高，即偏于“保守”。這里對保守加了引號的原因，是因為這并不意味著偏于安全。

(2)是否打開增強模式下的應力數值差異會隨著四面體網格的加密而變得不顯著。盡管沒有讓小M再補充計算二次四面體單元網格加密后的情況，但結論也肯定是成立的。

(3)當采用六面體網格劃分時，由于表面的節點僅屬于表層單元，因此無論增強模式打開與否，因此顯示的應力數值幾乎沒有差異。當然，加密后也同樣沒有差異。表格中盡管沒有對二次六面體單元的情況進行計算，結論也肯定是成立的。在這里需要注意的是，線性六面體單元計算的情形，即使兩種顯示模式下的結果數值沒有差異，且應力的等值線圖也很“絲滑”了，也不能簡單判定這個計算結果就是準確的。

2、討論：到底哪一個應力結果是對的？

① 那么到底哪種情況下的應力結果是準確的呢？

是的，到目前為止還沒有給出這個問題的答案，這是因為這個問題并不是本文所討論的重點。實際上，應力的數值精確與否跟圖形顯示模式的選取之間沒有實質性的關系，注意不是沒有關系，而是沒有實質性的關聯。

② 哪個結果更準確，這其實是屬于另一個問題。

前面的問題僅僅是在討論不同的顯示模式對結果數值顯示的影響，而并不涉及哪個分析方案計算得出的精度更高。

③ 下面簡單討論一下上述問題計算結果的精度問題。

由于二次四面體單元的插值函數包含完備的二次項，因此它的計算結果精度要高一些。另外，線性單元加密后無論是四面體還是六面體，計算結果也比較接近了，且與二次四面體單元的計算結果的差異也僅在2%左右，這幾個數值幾乎已經是一致的了，因此可以認為這些解答都已經足夠準確。

當然，與二次四面體單元的較粗網格相比，線性單元要達到相似精度，就需要進行網格加密。本問題中，小M實際采用的線性單元，其實是SOLID185的四面體退化形式以及六面體形式，這些線性單元的插值函數僅包含交叉乘積項而沒有完備的二次項，因此只有使用相對較密的網格才能逼近問題的正確解答。

綜上所述，應力計算是有限元分析中很重要的方面。拋開計算精度不講，查看應力的數值時，還需要注意顯示模式選擇方面所帶來的差異性。在不同的軟件進行結果對比時，尤其要注意這類問題，在模式上不進行對標，僅查看和比較數值是沒有意義的。

至此，小M終于徹底明白了，讀者朋友們明白了嗎？

[編者按]

本文中，作者對一個看似簡單的問題進行了認真的剖析，針對網友小M的問題進行了深入淺出、由此及彼、由表及里的全面講解。實際上，這也折射出作者在授課過程中一貫的技術風格——善于從實踐中發現問題，并基于扎實的理論基礎知識和對軟件應用的深刻理解，在深入細致的分析后得到正確的認知。

審核編輯 ：李倩