”張正友標定”是指張正友教授1998年提出的單平面棋盤格的攝像機標定方法。文中提出的方法介于傳統標定法和自標定法之間，但克服了傳統標定法需要的高精度標定物的缺點，而僅需使用一個打印出來的棋盤格就可以。同時也相對于自標定而言，提高了精度，便于操作。因此張氏標定法被廣泛應用于計算機視覺方面。

原理

1.計算外參

設三維世界坐標的點為M=[X,Y,Z,1]T，二維相機平面像素坐標為m=[u,v,1]T，所以標定用的棋盤格平面到圖像平面的單應性關系為：sm=A[R,t]M
其中

不妨設棋盤格位于Z = 0，定義旋轉矩陣R的第i列為 ri, 則有：

令H=[h1 h2 h3]=λA[r1 r2 t]

于是空間到圖像的映射可改為：sm=HM，

其中H是描述Homographic矩陣，H是一個齊次矩陣，所以有8個未知數，至少需要8個方程，每對對應點能提供兩個方程，所以至少需要四個對應點，就可以算出世界平面到圖像平面的單應性矩陣H

外參具體計算公式。注意：R3是 t

一般而言，求解出的R = [r1 r2 t] 不會滿足正交與歸一的標準

在實際操作中，R 可以通過SVD分解實現規范化(詳見原文)

2.計算內參

由r1和r2正交，且r1和r2的模相等，可以得到如下約束：

正交

模相等

可以推到出

根據推到的結果可知如果有n組觀察圖像，則V 是 2n x 6 的矩陣

根據最小二乘定義，V b = 0 的解是 VTV 最小特征值對應的特征向量。

因此, 可以直接估算出 b，后續可以通過b求解內參

因為B中的未知量為6個，

所以當觀測平面 n ≥ 3 時，可以得到b的唯一解

當 n = 2時, 一般可令畸變參數γ = 0

當 n = 1時, 僅能估算出α 與 β, 此時一般可假定像主點坐標 u0 與 v0 為0

內部參數可通過如下公式計算(cholesky分解)：

內參具體計算公式

3.最大似然估計

上述的推導結果是基于理想情況下的解，但由于可能存在高斯噪聲，所以使用最大似然估計進行優化。設我們采集了n副包含棋盤格的圖像進行定標，每個圖像里有棋盤格角點m個。令第i副圖像上的角點Mj在上述計算得到的攝像機矩陣下圖像上的投影點為：

這里的K為相機內參矩陣A

其中Ri和ti是第i副圖對應的旋轉矩陣和平移向量，K是內參數矩陣。則角點mij的概率密度函數為：

這里的K為相機內參矩陣A

構造似然函數：

這里的K為相機內參矩陣A

讓L取得最大值，即讓下面式子最小。這里使用的是多參數非線性系統優化問題的Levenberg-Marquardt算法[2]進行迭代求最優解。

這里的K為相機內參矩陣A

4.徑向畸變估計

張氏標定法只關注了影響最大的徑向畸變。則數學表達式為：

其中，(u,v)是理想無畸變的像素坐標，(u,v)(u,v)是實際畸變后的像素坐標。(u0,v0)代表主點，(x,y)是理想無畸變的連續圖像坐標，(x,y)(x,y)是實際畸變后的連續圖像坐標。k1和k2為前兩階的畸變參數。

化作矩陣形式：

記做：Dk=d

則可得：

計算得到畸變系數k。

使用最大似然的思想優化得到的結果，即像上一步一樣，LM法計算下列函數值最小的參數值：

這里的K為相機內參矩陣A

到此，張氏標定法介紹完畢。我們也得到了相機內參、外參和畸變系數。

相機標定步驟

打印一張棋盤格A4紙張（黑白間距已知），并貼在一個平板上

針對棋盤格拍攝若干張圖片（一般10-20張）

在圖片中檢測特征點（Harris特征）

利用解析解估算方法計算出5個內部參數，以及6個外部參數

根據極大似然估計策略，設計優化目標并實現參數的refinement。

審核編輯：劉清