上期我們知道了傳遞函數的重要性，而傳遞函數只有線性系統才有，開關電源并不是一個線性電路，所以我們需要將其線性化。當然，這個線性化肯定是有約束條件的，即在一定條件下才成立。

我如果說秒針是勻速旋轉的，大家應該沒什么異議吧，秒針每過1秒轉動1小格，確實是勻速旋轉，即秒針轉的弧度與時間是線性關系。

但是如果我說秒針是每時每刻都是勻速旋轉的，那就不對了吧。仔細觀察的話，這種時鐘，實際是時間每過1秒，迅速轉動一小格，然后等待一秒，到了一秒后馬上又轉動一小格，所以它的速度并不是每時每刻都是一樣的，期間甚至有靜止不動的時候，即秒針轉的弧度與時間并不是絕對的線性關系。

總之，嚴格來說，秒針轉的弧度與時間并不是線性關系，但是如果滿足一定的條件——時間夠長，我們把它當成線性關系去看待反而會使問題更為簡單，在計算一定時間秒針轉了多少圈這種問題時，得到的結果也能接受，誤差并不太大。

類似時鐘的例子，在滿足一定條件的時候，開關電源也可以看成是線性系統。

那問題來了，這個一定條件，到底是什么條件呢？

開關電源線性化的條件

要知道線性化的條件，那自然要知道開關電源哪里不是線性的。我們還是以最常見的電壓反饋型的buck為例子吧。

下圖是電壓反饋型的BUCK的系統結構框圖

整個系統結構主要有4個部分：

1、采樣網絡

2、放大和補償器

3、脈沖調制器

4、開關變換器

采用網絡

采樣網絡一般就是指FB上面的兩個分壓電阻，采樣網絡的輸入是電源的輸出Vo，采樣網絡的輸出是FB的電壓，很明顯，它們是線性的。

比如下面buck芯片MP1484電路，這一級的傳遞函數都能很容易寫出來，是線性的。

放大和補償器

放大和補償器要稍微復雜一點，我們可以打開MP1484的內部框圖看看。

放大器工作在線性放大區，那就是線性的，補償電路一般是阻容RC補償，這一級沒有非線性器件，所以這一級也是線性的。

脈沖調制器

脈沖調制器可能看著有點不好處理。

因為前面不論是采樣網絡，還是放大和補償器，它們的輸入和輸出都是電壓信號，且都是模擬量。而這個東西，將輸入的模擬電壓信號搞成PWM波了，我們總不至于說PWM波和前面的模擬量是線性關系吧（可以通俗理解線性關系就是比例關系）。

所以，如果看輸入和輸出的電壓比例關系，脈沖調制器這一級就不是線性的。

這一點應該很明白，如果是線性的，輸入是正弦波，那么輸出一定正弦波，不會產生新的頻率成分。

先看看這個PWM是如何產生的？

從放大和補償器出來的信號，我們取個名字加Vc（t）吧，它是時間的函數。Vc（t）與芯片內部產生的鋸齒波做比較，就能得到PWM波。

產生PWM的原理如下：

1、某一時刻Vc（t）大于鋸齒波的電壓，那么輸出高

2、某一時刻Vc（t）小于鋸齒波的電壓，那么就輸出低

波形圖如下：

我們知道，開關電源就是通過控制每個開關周期內的導通與關斷時間來達到控制輸出電壓的目的。也就是占空比d，對系統調整起決定作用的就是這個PWM的占空比d。

那么我們干脆把占空比d作為這一級的輸出信號。

占空比就是每個開關周期內PWM波為高電平所占的時間百分比，顯然，一個周期內占空比只有一個值，一個周期之內也只能調整一次占空比，調整的位置見上圖中紅色的點。

輸入信號Vc（t）是連續的信號，而輸出占空比d可以看成是離散的點。這是不是很像是AD采樣？每一個開關周期對Vc（t）采樣一次，也就是說采樣頻率就是開關頻率。

顯然，如果采樣率夠高，那么這些采樣出來的點連起來的形狀和Vc（t）是長的一樣的，也就是說輸出占空比d與輸入Vc（t）成線性關系。

所以，線性化的條件就是采樣率要夠高，夠高是多高呢？根據奈奎斯特采樣定律，采樣率至少是信號頻率的2倍關系。

采樣率是開關頻率，信號是Vc（t），所以Vc（t）不能超過開關頻率的二分之一。

回到主題，脈沖調制器這一級線性化的條件就是：輸入信號Vc（t）不能超過開關頻率的二分之一。

我想，這也是為什么我們會在很多地方看到類似這樣的話：環路的穿越頻率理論上要小于開關頻率的二分之一（一般都設置小于1/5以上）。

原因應該就是：如果穿越頻率大于開關頻率的二分之一，那么這個系統就不能看成是線性系統，這時候穿越頻率就沒了意義（因為它來源于我們把這個系統當線性系統）。

開關變換器

開關變換前一級為脈沖調制器，其輸出信號為占空比d，那么到了開關變換器這一級，占空比作為其輸入信號了，而輸出信號就是Vo了。

我們看中間節點SW處，SW處的波形也是占空比為d的PWM波，并且高電平的電壓為電源輸入電壓Vi，在低電平的時候為0。

我們知道，BUCK穩定時的占空比就是：d=Vo/Vi（忽略二極管壓降）

變換一下，也就是Vo=Vi*d。一個確定的電路，電源輸入點電壓Vi是確定的（不考慮噪聲），那么Vo與d就是線性關系，即開關變換器這一級的輸出與輸入為線性關系。

另外，Vo肯定是有開關頻率的紋波的，不過通常這個紋波是幾十mv左右，這里是把這個紋波忽略掉的。因此，我們說它們是線性關系，其實是有個條件，那就是Vo的輸出紋波很小，可以忽略，這一般稱為小紋波假設。

不過，Vo與d的線性關系并不總是成立的。

如果是boost，那么其占空比的公式是這樣的：d=1-Vi/Vo，那么Vo=Vi/（1-d），顯然，vo與d并不是線性關系。這個時候怎么辦呢？

當電源輸入Vi確定時，我們畫出Vo=vi/（1-d）的曲線如下圖：

可以看到，d與Vo并不是線性關系，但是結合我們實際使用的情況，一般輸入電壓Vi和Vo確定之后，穩定時占空比d是不變的，假設為d0。

如果干擾信號引起的占空比△d變化很小，那么在這個小范圍內，Vo與d是可以近似為線性的關系的。

所以，如果干擾信號比較小的話——小信號假設，這一級也是可以看成線性的。

小結

開關電源系統一般劃分為4級：采樣網絡，放大和補償，PWM調制器，開關變換器。

采樣網絡，放大和補償這兩級本身就是線性的，PWM調制器和開關變換器為非線性的。在滿足下面三個條件時，開關電源可以看做線性系統。

1、低頻假設：干擾信號的頻率比較低，至少小于開關頻率的二分之一（注：一些書在建模時的條件：遠小于開關頻率）。

2、小信號假設：干擾信號的幅度比較小，引起占空比d只在小范圍變化。

3、小紋波假設：開關造成的輸出紋波幅值很小，可以忽略不計。

審核編輯：郭婷