上期我們知道了傳遞函數(shù)的重要性，而傳遞函數(shù)只有線性系統(tǒng)才有，開關(guān)電源并不是一個(gè)線性電路，所以我們需要將其線性化。當(dāng)然，這個(gè)線性化肯定是有約束條件的，即在一定條件下才成立。

我如果說秒針是勻速旋轉(zhuǎn)的，大家應(yīng)該沒什么異議吧，秒針每過1秒轉(zhuǎn)動(dòng)1小格，確實(shí)是勻速旋轉(zhuǎn)，即秒針轉(zhuǎn)的弧度與時(shí)間是線性關(guān)系。

但是如果我說秒針是每時(shí)每刻都是勻速旋轉(zhuǎn)的，那就不對(duì)了吧。仔細(xì)觀察的話，這種時(shí)鐘，實(shí)際是時(shí)間每過1秒，迅速轉(zhuǎn)動(dòng)一小格，然后等待一秒，到了一秒后馬上又轉(zhuǎn)動(dòng)一小格，所以它的速度并不是每時(shí)每刻都是一樣的，期間甚至有靜止不動(dòng)的時(shí)候，即秒針轉(zhuǎn)的弧度與時(shí)間并不是絕對(duì)的線性關(guān)系。

總之，嚴(yán)格來說，秒針轉(zhuǎn)的弧度與時(shí)間并不是線性關(guān)系，但是如果滿足一定的條件——時(shí)間夠長(zhǎng)，我們把它當(dāng)成線性關(guān)系去看待反而會(huì)使問題更為簡(jiǎn)單，在計(jì)算一定時(shí)間秒針轉(zhuǎn)了多少圈這種問題時(shí)，得到的結(jié)果也能接受，誤差并不太大。

類似時(shí)鐘的例子，在滿足一定條件的時(shí)候，開關(guān)電源也可以看成是線性系統(tǒng)。

那問題來了，這個(gè)一定條件，到底是什么條件呢？

開關(guān)電源線性化的條件

要知道線性化的條件，那自然要知道開關(guān)電源哪里不是線性的。我們還是以最常見的電壓反饋型的buck為例子吧。

下圖是電壓反饋型的BUCK的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

整個(gè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)主要有4個(gè)部分：

1、采樣網(wǎng)絡(luò)

2、放大和補(bǔ)償器

3、脈沖調(diào)制器

4、開關(guān)變換器

采用網(wǎng)絡(luò)

采樣網(wǎng)絡(luò)一般就是指FB上面的兩個(gè)分壓電阻，采樣網(wǎng)絡(luò)的輸入是電源的輸出Vo，采樣網(wǎng)絡(luò)的輸出是FB的電壓，很明顯，它們是線性的。

比如下面buck芯片MP1484電路，這一級(jí)的傳遞函數(shù)都能很容易寫出來，是線性的。

放大和補(bǔ)償器

放大和補(bǔ)償器要稍微復(fù)雜一點(diǎn)，我們可以打開MP1484的內(nèi)部框圖看看。

放大器工作在線性放大區(qū)，那就是線性的，補(bǔ)償電路一般是阻容RC補(bǔ)償，這一級(jí)沒有非線性器件，所以這一級(jí)也是線性的。

脈沖調(diào)制器

脈沖調(diào)制器可能看著有點(diǎn)不好處理。

因?yàn)榍懊娌徽撌遣蓸泳W(wǎng)絡(luò)，還是放大和補(bǔ)償器，它們的輸入和輸出都是電壓信號(hào)，且都是模擬量。而這個(gè)東西，將輸入的模擬電壓信號(hào)搞成PWM波了，我們總不至于說PWM波和前面的模擬量是線性關(guān)系吧（可以通俗理解線性關(guān)系就是比例關(guān)系）。

所以，如果看輸入和輸出的電壓比例關(guān)系，脈沖調(diào)制器這一級(jí)就不是線性的。

這一點(diǎn)應(yīng)該很明白，如果是線性的，輸入是正弦波，那么輸出一定正弦波，不會(huì)產(chǎn)生新的頻率成分。

先看看這個(gè)PWM是如何產(chǎn)生的？

從放大和補(bǔ)償器出來的信號(hào)，我們?nèi)€(gè)名字加Vc（t）吧，它是時(shí)間的函數(shù)。Vc（t）與芯片內(nèi)部產(chǎn)生的鋸齒波做比較，就能得到PWM波。

產(chǎn)生PWM的原理如下：

1、某一時(shí)刻Vc（t）大于鋸齒波的電壓，那么輸出高

2、某一時(shí)刻Vc（t）小于鋸齒波的電壓，那么就輸出低

波形圖如下：

我們知道，開關(guān)電源就是通過控制每個(gè)開關(guān)周期內(nèi)的導(dǎo)通與關(guān)斷時(shí)間來達(dá)到控制輸出電壓的目的。也就是占空比d，對(duì)系統(tǒng)調(diào)整起決定作用的就是這個(gè)PWM的占空比d。

那么我們干脆把占空比d作為這一級(jí)的輸出信號(hào)。

占空比就是每個(gè)開關(guān)周期內(nèi)PWM波為高電平所占的時(shí)間百分比，顯然，一個(gè)周期內(nèi)占空比只有一個(gè)值，一個(gè)周期之內(nèi)也只能調(diào)整一次占空比，調(diào)整的位置見上圖中紅色的點(diǎn)。

輸入信號(hào)Vc（t）是連續(xù)的信號(hào)，而輸出占空比d可以看成是離散的點(diǎn)。這是不是很像是AD采樣？每一個(gè)開關(guān)周期對(duì)Vc（t）采樣一次，也就是說采樣頻率就是開關(guān)頻率。

顯然，如果采樣率夠高，那么這些采樣出來的點(diǎn)連起來的形狀和Vc（t）是長(zhǎng)的一樣的，也就是說輸出占空比d與輸入Vc（t）成線性關(guān)系。

所以，線性化的條件就是采樣率要夠高，夠高是多高呢？根據(jù)奈奎斯特采樣定律，采樣率至少是信號(hào)頻率的2倍關(guān)系。

采樣率是開關(guān)頻率，信號(hào)是Vc（t），所以Vc（t）不能超過開關(guān)頻率的二分之一。

回到主題，脈沖調(diào)制器這一級(jí)線性化的條件就是：輸入信號(hào)Vc（t）不能超過開關(guān)頻率的二分之一。

我想，這也是為什么我們會(huì)在很多地方看到類似這樣的話：環(huán)路的穿越頻率理論上要小于開關(guān)頻率的二分之一（一般都設(shè)置小于1/5以上）。

原因應(yīng)該就是：如果穿越頻率大于開關(guān)頻率的二分之一，那么這個(gè)系統(tǒng)就不能看成是線性系統(tǒng)，這時(shí)候穿越頻率就沒了意義（因?yàn)樗鼇碓从谖覀儼堰@個(gè)系統(tǒng)當(dāng)線性系統(tǒng)）。

開關(guān)變換器

開關(guān)變換前一級(jí)為脈沖調(diào)制器，其輸出信號(hào)為占空比d，那么到了開關(guān)變換器這一級(jí)，占空比作為其輸入信號(hào)了，而輸出信號(hào)就是Vo了。

我們看中間節(jié)點(diǎn)SW處，SW處的波形也是占空比為d的PWM波，并且高電平的電壓為電源輸入電壓Vi，在低電平的時(shí)候?yàn)?。

我們知道，BUCK穩(wěn)定時(shí)的占空比就是：d=Vo/Vi（忽略二極管壓降）

變換一下，也就是Vo=Vi*d。一個(gè)確定的電路，電源輸入點(diǎn)電壓Vi是確定的（不考慮噪聲），那么Vo與d就是線性關(guān)系，即開關(guān)變換器這一級(jí)的輸出與輸入為線性關(guān)系。

另外，Vo肯定是有開關(guān)頻率的紋波的，不過通常這個(gè)紋波是幾十mv左右，這里是把這個(gè)紋波忽略掉的。因此，我們說它們是線性關(guān)系，其實(shí)是有個(gè)條件，那就是Vo的輸出紋波很小，可以忽略，這一般稱為小紋波假設(shè)。

不過，Vo與d的線性關(guān)系并不總是成立的。

如果是boost，那么其占空比的公式是這樣的：d=1-Vi/Vo，那么Vo=Vi/（1-d），顯然，vo與d并不是線性關(guān)系。這個(gè)時(shí)候怎么辦呢？

當(dāng)電源輸入Vi確定時(shí)，我們畫出Vo=vi/（1-d）的曲線如下圖：

可以看到，d與Vo并不是線性關(guān)系，但是結(jié)合我們實(shí)際使用的情況，一般輸入電壓Vi和Vo確定之后，穩(wěn)定時(shí)占空比d是不變的，假設(shè)為d0。

如果干擾信號(hào)引起的占空比△d變化很小，那么在這個(gè)小范圍內(nèi)，Vo與d是可以近似為線性的關(guān)系的。

所以，如果干擾信號(hào)比較小的話——小信號(hào)假設(shè)，這一級(jí)也是可以看成線性的。

小結(jié)

開關(guān)電源系統(tǒng)一般劃分為4級(jí)：采樣網(wǎng)絡(luò)，放大和補(bǔ)償，PWM調(diào)制器，開關(guān)變換器。

采樣網(wǎng)絡(luò)，放大和補(bǔ)償這兩級(jí)本身就是線性的，PWM調(diào)制器和開關(guān)變換器為非線性的。在滿足下面三個(gè)條件時(shí)，開關(guān)電源可以看做線性系統(tǒng)。

1、低頻假設(shè)：干擾信號(hào)的頻率比較低，至少小于開關(guān)頻率的二分之一（注：一些書在建模時(shí)的條件：遠(yuǎn)小于開關(guān)頻率）。

2、小信號(hào)假設(shè)：干擾信號(hào)的幅度比較小，引起占空比d只在小范圍變化。

3、小紋波假設(shè)：開關(guān)造成的輸出紋波幅值很小，可以忽略不計(jì)。

審核編輯：郭婷