系統的零輸入響應是當系統沒有外加激勵信號作為輸入時的響應。系統的輸入信號去除以后，輸出的響應信號一般不會突然消失。這是因為在輸入信號去除之前，系統中的儲能元件中一般總蓄有電磁，而這些能量不可能突然消失，它將逐漸釋放出來，直至最后消耗殆盡。零輸入響應正是由這種初始的能量分布狀態，即初始條件所決定的。

為求系統的零輸入響應，就要解下面式子所示的齊次方程。

現在，先來討論求解一階和二階齊次微分方程的簡單情況。

一、一階齊次微分方程

常數c可以根據初始條件t=0，r（t）=r（0）來確定c=r（0），于是得

二、二階齊次微分方程

再來看下二階的齊次微分方程

可見，對于算子形式的微分方程，也可以像代數方程那樣處理。

既然這兩個解中任一個都能滿足式

那么它們的和當然亦然能滿足。所以二階齊次方程解的一般形式應為：

三、n階齊次微分方程

上述方法可以推廣到求一般形式的齊次方程，為此先要把此式寫成因式相乘的形式，即

與二階齊次方程的解相似，上面一般形式的齊次方程的解的一般形式應為：

這也就是用n階線性微分方程描寫的系統的零輸入響應的一般形式，它和拉普拉斯變換求解零輸入響應導出的公式是完全相同的；

式中各λ就是復頻域中轉移函數的極點，它們決定了響應中的自然頻率。

式中c1、c2、。。.、cn是n個初始條件確定的常數，顯然為了確定這些常數，需要n個初始條件。

現在設初始條件t=0時，r（t）及其直到n-1階的各階導數的值r（0）、r‘（0）、r’‘（0）。。.，把這些初始值代入下式及其直到n-1階的各階導數式，得到下列聯立方程組：

此聯立式可以記為矩陣形式：

上面所示方程D（p）=0的根曾經假定全部是單根。如果有重根，那么方程的解也就不同于上面所示的簡單形式。

這個解加上對應于方程D（p）=0的其他根的解，即為零輸入響應函數的完全解。

編輯：jq