學習數字信號處理的訣竅：復數或向量的運用

學好數字信號處理的訣竅之二——復數與向量的運用

信號的相位為什么很重要

一、學好數字信號處理的訣竅之二——復數和向量的運用 在學習復數之前，我們學過的實數可以稱為一元數，它只有一個維度，即大小。復數是二元數，它有兩個維度，即實數部分和虛數部分，也可以說幅度和相位角。由于復數的維度比實數多一個，因而得到很多精彩的應用。(順便介紹一下，三元數是不存在的，但是英國數學家哈密爾頓發明了四元數，后來的一些數學家陸續發明了八元數、十六元數，但隨著元數的增加，其應用價值微乎其微。) 向量是一種既有大小又有方向的量，是和標量相對的，向量在現實中是廣泛存在的，復數處理這種既有大小又有方向的量即向量時，表現出極大的簡潔性。復數和向量在信號分析和處理中可以使復雜問題簡單化、直觀化，是理解數字信號處理非常有力的工具。此外，復數在表示既有一定大小、又有一定相位的量如正弦信號時，表現出很大的優越性。

復數的用途表現在它同時包含了向量的幅度和相位信息，因而給計算和公式的表達帶來很大的方便。復數是工程中最強大的工具之一，可以這么說，沒有復數這種工具，近代工業文明簡直是不可想象的。下面舉幾個例子說明復數的應用。 1、傅里葉變換。沒有復數作為工具，周期信號分解的表達式將會比較復雜，而用復數表達則異常簡潔、美觀，便于數學分析。 高等數學講過傅里葉級數的內容，連續周期信號f(t)可以展開為無窮級數，設f(t)的周期為T，則角頻率為Ω = 2π/T，可以分解為：

式中的系數an(n = 0, 1, 2,…), bn(n = 1, 2, …)分別為：

上面的表達式物理意義很明確，但是計算很繁瑣，并且在實際中無需區分頻率相同的正弦和余弦信號，因為同頻的正弦和余弦信號之和還是同頻的信號，只是幅度和相位發生了改變(下面將談到信號的相位的重要性)。《信號與系統》里面引進復指數形式的信號后，上面的公式(1)和(2)簡化為： ? ?

直觀上看，公式(3)比公式(1)和(2)之和要簡潔很多，它們包含的信息量是完全一樣的，但是式(3)更方便進行數學分析。 2、系統函數。利用復數可以很方便地表示信號經過一個系統(模擬的或數字的)之后各個頻率成分的變化情況，因為系統不僅改變輸入信號各個頻率分量的幅值大小，也改變相對相位的大小，而信號的相位是很重要的物理量，該系統稱為濾波器，可以實現各種功能。沒有復數作為工具，對系統的變換特性進行描述是極其困難的。 下面是一個有趣的問題：某人向東走1公里后，向左拐走1/2公里，再向左拐走(1/2)2公里，……，如此不停地進行下去，問這個人最后停留在什么位置？ 用復數解決很簡單，初始位置到最后停留位置連線的復數為

即某人最終位于起始位置的偏東4/5公里、偏北2/5公里的位置。很多同時涉及距離和角度的題目用復數解決都很簡單，復數在中學競賽中也得到重要應用。 二、為什么信號的相位很重要 任何信號(周期或非周期，連續或離散)都可以分解為不同頻率的余弦信號加權和。余弦信號由三個參數確定：幅度、相位和頻率，這三個參數的地位是同等重要的，相位的重要性可以通過以下幾個具體例子看出來。

1、兩個同頻率的余弦信號相互疊加，當相位相同時將互相加強，一個實際的例子是，當部隊過大橋時，為了避免走正步的頻率和大橋的固有頻率同相而加強，導致共振破壞大橋，因此部隊過大橋時都走碎步；當兩個同頻余弦信號相位正好相反時，將互相減弱，甚至可以抵消為零。兩個同頻信號的疊加，相對相位的不同將導致結果差異很大。 2、國慶典禮上軍人的步伐高度一致，給人一種難以言說的美感和震撼感，從數學上來說就是“相位”高度一致。 3、有一句諺語“海上無風三尺浪”，這是因為海上不同的船只都獨立產生一個類似余弦波，很多的波合成時，在某些相對相位情況下互相疊加而加強。

4、一個信號的不同頻率成分，經過一個系統之后，如果相對“相位”發生了改變，即有的頻率成分“超前”了，有的頻率成分“落后”了，那么合成之后的信號就會發生失真，而很多情況是要求信號不失真地傳輸的，如圖像信號等。當然，有時對信號進行有目的“失真”處理也是必要的，比如將含有噪聲的信號進行去噪。 總之，掌握好復數和向量，是學好數字信號處理等課程的一個訣竅，這是由復數可以同時表示幅度和相位的性質決定的。

原文標題：學好數字信號處理的訣竅之二——復數和向量的運用

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