先看一個二維濾波器，如下圖所示。濾波器是一個3x3的矩陣，輸入數據是一個5x5的矩陣。輸入矩陣中的紅色方框（下文稱之為滑窗）是一個激活區域（ActiveRegion），這個區域的大小與濾波器大小一致，均為3x3方陣。激活區域與濾波器對應系數相乘并相加即獲得對應的輸出（這里是矩陣元素對應相乘相加，不是矩陣乘法）。緊接著，滑窗右移一格，得到新的激活區域，再次與濾波器對應元素相乘相加獲得第2個輸出。這里滑窗的步進為1。當滑窗右側邊緣與輸入數據右側邊緣重合時，滑窗重新回到輸入數據最左側邊緣并下移一格。由此可見，滑窗在兩個維度都會移動。

濾波與卷積本質上是一致的。回想一維濾波器或者說一維卷積運算。輸入數據在時間維度上依次進入卷積窗口。當前的輸出取決于濾波器系數和卷積窗內的輸入數據，執行的運算也是相乘相加。至此，可以看到二維濾波器只是卷積窗由一維變為二維，同時，輸入數據也由一維變為二維。 相乘相加是否可以轉換成矩陣乘呢？答案是肯定的。以下圖為例。首先，我們把每個激活區域的輸入數據取出來由二維矩陣變為一維行向量。滑窗步進為1，共4個激活區域，所以可得到4個一維向量。這4個一維向量構成一個4x9的二維矩陣。其次，我們將濾波器按照先行再列的方式“拉直”，構成一個一維列向量，這個列向量維度為9x1。顯然，這時4個激活區域構成的矩陣與濾波器系數構成的列向量是可乘的，滿足了矩陣乘法的要求。之后就可以直接執行矩陣乘法獲得輸出結果。

CNN中的卷積運算本質上就算二維濾波器，是矩陣對應元素相乘相加。但在工程實現時，則將其采用上圖所示方法轉變為矩陣乘法，從而提高運算效率。

原文標題：卷積神經網絡中會什么會有矩陣乘法？

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