前言

直接上代碼是最有效的學(xué)習(xí)方式。這篇教程通過由一段簡短的 python 代碼實現(xiàn)的非常簡單的實例來講解 BP 反向傳播算法。

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當然，上述程序可能過于簡練了。下面我會將其簡要分解成幾個部分進行探討。

第一部分：一個簡潔的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

一個用 BP 算法訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)嘗試著用輸入去預(yù)測輸出。

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考慮以上情形：給定三列輸入，試著去預(yù)測對應(yīng)的一列輸出。我們可以通過簡單測量輸入與輸出值的數(shù)據(jù)來解決這一問題。這樣一來，我們可以發(fā)現(xiàn)最左邊的一列輸入值和輸出值是完美匹配/完全相關(guān)的。直觀意義上來講，反向傳播算法便是通過這種方式來衡量數(shù)據(jù)間統(tǒng)計關(guān)系進而得到模型的。下面直入正題，動手實踐。

2 層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

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Output After Training：

［［ 0.00966449］

［ 0.00786506］

［ 0.99358898］

［ 0.99211957］］

變量 定義說明

X 輸入數(shù)據(jù)集，形式為矩陣，每 1 行代表 1 個訓(xùn)練樣本。

y 輸出數(shù)據(jù)集，形式為矩陣，每 1 行代表 1 個訓(xùn)練樣本。

l0 網(wǎng)絡(luò)第 1 層，即網(wǎng)絡(luò)輸入層。

l1 網(wǎng)絡(luò)第 2 層，常稱作隱藏層。

Syn 第一層權(quán)值，突觸 0 ，連接 l0 層與 l1 層。

0

* 逐元素相乘，故兩等長向量相乘等同于其對等元素分別相乘，結(jié)果為同等長度的向量。

– 元素相減，故兩等長向量相減等同于其對等元素分別相減，結(jié)果為同等長度的向量。

x.dot（y） 若 x 和 y 為向量，則進行點積操作；若均為矩陣，則進行矩陣相乘操作；若其中之一為矩陣，則進行向量與矩陣相乘操作。

正如在“訓(xùn)練后結(jié)果輸出”中看到的，程序正確執(zhí)行！在描述具體過程之前，我建議讀者事先去嘗試理解并運行下代碼，對算法程序的工作方式有一個直觀的感受。最好能夠在 ipython notebook 中原封不動地跑通以上程序（或者你想自己寫個腳本也行，但我還是強烈推薦 notebook ）。下面是對理解程序有幫助的幾個關(guān)鍵地方：

· 對比 l1 層在首次迭代和最后一次迭代時的狀態(tài)。

· 仔細察看 “nonlin” 函數(shù)，正是它將一個概率值作為輸出提供給我們。

· 仔細觀察在迭代過程中，l1_error 是如何變化的。

· 將第 36 行中的表達式拆開來分析，大部分秘密武器就在這里面。

· 仔細理解第 39 行代碼，網(wǎng)絡(luò)中所有操作都是在為這步運算做準備。

下面，讓我們一行一行地把代碼過一遍。

建議：用兩個屏幕來打開這篇博客，這樣你就能對照著代碼來閱讀文章。在博客撰寫時，我也正是這么做的。

第 1 行：這里導(dǎo)入一個名叫 numpy 的線性代數(shù)工具庫，它是本程序中唯一的外部依賴。

第 4 行：這里是我們的“非線性”部分。雖然它可以是許多種函數(shù)，但在這里，使用的非線性映射為一個稱作 “sigmoid” 的函數(shù)。Sigmoid 函數(shù)可以將任何值都映射到一個位于 0 到 1 范圍內(nèi)的值。通過它，我們可以將實數(shù)轉(zhuǎn)化為概率值。對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練， Sigmoid 函數(shù)也有其它幾個非常不錯的特性。

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第 5 行： 注意，通過 “nonlin” 函數(shù)體還能得到 sigmod 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（當形參 deriv 為 True 時）。Sigmoid 函數(shù)優(yōu)異特性之一，在于只用它的輸出值便可以得到其導(dǎo)數(shù)值。若 Sigmoid 的輸出值用變量 out 表示，則其導(dǎo)數(shù)值可簡單通過式子 out *（1-out） 得到，這是非常高效的。

若你對求導(dǎo)還不太熟悉，那么你可以這樣理解：導(dǎo)數(shù)就是 sigmod 函數(shù)曲線在給定點上的斜率（如上圖所示，曲線上不同的點對應(yīng)的斜率不同）。有關(guān)更多導(dǎo)數(shù)方面的知識，可以參考可汗學(xué)院的導(dǎo)數(shù)求解教程。

第 10 行：這行代碼將我們的輸入數(shù)據(jù)集初始化為 numpy 中的矩陣。每一行為一個“訓(xùn)練實例”，每一列的對應(yīng)著一個輸入節(jié)點。這樣，我們的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)便有 3 個輸入節(jié)點，4 個訓(xùn)練實例。

第 16 行：這行代碼對輸出數(shù)據(jù)集進行初始化。在本例中，為了節(jié)省空間，我以水平格式（ 1 行 4 列）定義生成了數(shù)據(jù)集。“.T” 為轉(zhuǎn)置函數(shù)。經(jīng)轉(zhuǎn)置后，該 y 矩陣便包含 4 行 1 列。同我們的輸入一致，每一行是一個訓(xùn)練實例，而每一列（僅有一列）對應(yīng)一個輸出節(jié)點。因此，我們的網(wǎng)絡(luò)含有 3 個輸入， 1 個輸出。

第 20 行：為你的隨機數(shù)設(shè)定產(chǎn)生種子是一個良好的習(xí)慣。這樣一來，你得到的權(quán)重初始化集仍是隨機分布的，但每次開始訓(xùn)練時，得到的權(quán)重初始集分布都是完全一致的。這便于觀察你的策略變動是如何影響網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的。

第 23 行：這行代碼實現(xiàn)了該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重矩陣的初始化操作。用 “syn0” 來代指 “零號突觸”（即“輸入層-第一層隱層”間權(quán)重矩陣）。由于我們的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)只有 2 層（輸入層與輸出層），因此只需要一個權(quán)重矩陣來連接它們。權(quán)重矩陣維度為（3，1），是因為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有 3 個輸入和 1 個輸出。換種方式來講，也就是 l0 層大小為 3 ， l1 層大小為 1 。因此，要想將 l0 層的每個神經(jīng)元節(jié)點與 l1 層的每個神經(jīng)元節(jié)點相連，就需要一個維度大小為（3，1）的連接矩陣。：）

同時，要注意到隨機初始化的權(quán)重矩陣均值為 0 。關(guān)于權(quán)重的初始化，里面可有不少學(xué)問。因為我們現(xiàn)在還只是練習(xí)，所以在權(quán)值初始化時設(shè)定均值為 0 就可以了。

另一個認識就是，所謂的“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”實際上就是這個權(quán)值矩陣。雖然有“層” l0 和 l1 ，但它們都是基于數(shù)據(jù)集的瞬時值，即層的輸入輸出狀態(tài)隨不同輸入數(shù)據(jù)而不同，這些狀態(tài)是不需要保存的。在學(xué)習(xí)訓(xùn)練過程中，只需存儲 syn0 權(quán)值矩陣。

第 25 行：本行代碼開始就是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的代碼了。本 for 循環(huán)迭代式地多次執(zhí)行訓(xùn)練代碼，使得我們的網(wǎng)絡(luò)能更好地擬合訓(xùn)練集。

第 28 行：可知，網(wǎng)絡(luò)第一層 l0 就是我們的輸入數(shù)據(jù)，關(guān)于這點，下面作進一步闡述。還記得 X 包含 4 個訓(xùn)練實例（行）吧？在該部分實現(xiàn)中，我們將同時對所有的實例進行處理，這種訓(xùn)練方式稱作“整批”訓(xùn)練。因此，雖然我們有 4 個不同的 l0 行，但你可以將其整體視為單個訓(xùn)練實例，這樣做并沒有什么差別。（我們可以在不改動一行代碼的前提下，一次性裝入 1000 個甚至 10000 個實例）。

第 29 行：這是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前向預(yù)測階段。基本上，首先讓網(wǎng)絡(luò)基于給定輸入“試著”去預(yù)測輸出。接著，我們將研究預(yù)測效果如何，以至于作出一些調(diào)整，使得在每次迭代過程中網(wǎng)絡(luò)能夠表現(xiàn)地更好一點。

（4 x 3） dot （3 x 1） = （4 x 1）

本行代碼包含兩個步驟。首先，將 l0 與 syn0 進行矩陣相乘。然后，將計算結(jié)果傳遞給 sigmoid 函數(shù)。具體考慮到各個矩陣的維度：

（4 x 3） dot （3 x 1） = （4 x 1）

矩陣相乘是有約束的，比如等式靠中間的兩個維度必須一致。而最終產(chǎn)生的矩陣，其行數(shù)為第一個矩陣的行數(shù)，列數(shù)則為第二個矩陣的列數(shù)。

由于裝入了 4 個訓(xùn)練實例，因此最終得到了 4 個猜測結(jié)果，即一個（4 x 1）的矩陣。每一個輸出都對應(yīng)，給定輸入下網(wǎng)絡(luò)對正確結(jié)果的一個猜測。也許這也能直觀地解釋：為什么我們可以“載入”任意數(shù)目的訓(xùn)練實例。在這種情況下，矩陣乘法仍是奏效的。

第 32 行：這樣，對于每一輸入，可知 l1 都有對應(yīng)的一個“猜測”結(jié)果。那么通過將真實的結(jié)果（y）與猜測結(jié)果（l1）作減，就可以對比得到網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的效果怎么樣。l1_error 是一個有正數(shù)和負數(shù)組成的向量，它可以反映出網(wǎng)絡(luò)的誤差有多大。

第 36 行：現(xiàn)在，我們要碰到干貨了！這里就是秘密武器所在！本行代碼信息量比較大，所以將它拆成兩部分來分析。

第一部分：求導(dǎo)

nonlin（l1，True）

如果 l1 可表示成 3 個點，如下圖所示，以上代碼就可產(chǎn)生圖中的三條斜線。注意到，如在 x=2.0 處（綠色點）輸出值很大時，及如在x=-1.0 處（紫色點）輸出值很小時，斜線都非常十分平緩。如你所見，斜度最高的點位于 x=0 處（藍色點）。這一特性非常重要。另外也可發(fā)現(xiàn)，所有的導(dǎo)數(shù)值都在 0 到 1 范圍之內(nèi)。

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整體認識：誤差項加權(quán)導(dǎo)數(shù)值

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當然，“誤差項加權(quán)導(dǎo)數(shù)值”這個名詞在數(shù)學(xué)上還有更為嚴謹?shù)拿枋觯贿^我覺得這個定義準確地捕捉到了算法的意圖。 l1_error 是一個（4，1）大小的矩陣，nonlin（l1，True）返回的便是一個（4，1）的矩陣。而我們所做的就是將其“逐元素地”相乘，得到的是一個（4，1）大小的矩陣 l1_delta ，它的每一個元素就是元素相乘的結(jié)果。

當我們將“斜率”乘上誤差時，實際上就在以高確信度減小預(yù)測誤差。回過頭來看下 sigmoid 函數(shù)曲線圖！當斜率非常平緩時（接近于 0），那么網(wǎng)絡(luò)輸出要么是一個很大的值，要么是一個很小的值。這就意味著網(wǎng)絡(luò)十分確定是否是這種情況，或是另一種情況。然而，如果網(wǎng)絡(luò)的判定結(jié)果對應(yīng)（x = 0.5，y = 0.5）附近時，它便就不那么確定了。對于這種“似是而非”預(yù)測情形，我們對其做最大的調(diào)整，而對確定的情形則不多做處理，乘上一個接近于 0 的數(shù)，則對應(yīng)的調(diào)整量便可忽略不計。

第 39 行：現(xiàn)在，更新網(wǎng)絡(luò)已準備就緒！下面一起來看下一個簡單的訓(xùn)練示例。

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在這個訓(xùn)練示例中，我們已經(jīng)為權(quán)值更新做好了一切準備。下面讓我們來更新最左邊的權(quán)值（9.5）。

權(quán)值更新量 = 輸入值 * l1_delta

對于最左邊的權(quán)值，在上式中便是 1.0 乘上 l1_delta 的值。可以想得到，這對權(quán)值 9.5 的增量是可以忽略不計的。為什么只有這么小的更新量呢？是因為我們對于預(yù)測結(jié)果十分確信，而且預(yù)測結(jié)果有很大把握是正確的。誤差和斜率都偏小時，便意味著一個較小的更新量。考慮所有的連接權(quán)值，這三個權(quán)值的增量都是非常小的。

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然而，由于采取的是“整批”訓(xùn)練的機制，因此上述更新步驟是在全部的 4 個訓(xùn)練實例上進行的，這看上去也有點類似于圖像。那么，第 39 行做了什么事情呢？在這簡單的一行代碼中，它共完成了下面幾個操作：首先計算每一個訓(xùn)練實例中每一個權(quán)值對應(yīng)的權(quán)值更新量，再將每個權(quán)值的所有更新量累加起來，接著更新這些權(quán)值。親自推導(dǎo)下這個矩陣相乘操作，你便能明白它是如何做到這一點的。

重點結(jié)論：

現(xiàn)在，我們已經(jīng)知曉神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是如何進行更新的。回過頭來看看訓(xùn)練數(shù)據(jù)，作一些深入思考。 當輸入和輸出均為 1 時，我們增加它們間的連接權(quán)重；當輸入為 1 而輸出為 0 時，我們減小其連接權(quán)重

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因此，在如下 4 個訓(xùn)練示例中，第一個輸入結(jié)點與輸出節(jié)點間的權(quán)值將持續(xù)增大或者保持不變，而其他兩個權(quán)值在訓(xùn)練過程中表現(xiàn)為同時增大或者減小（忽略中間過程）。這種現(xiàn)象便使得網(wǎng)絡(luò)能夠基于輸入與輸出間的聯(lián)系進行學(xué)習(xí)。

第二部分：一個稍顯復(fù)雜的問題

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考慮如下情形：給定前兩列輸入，嘗試去預(yù)測輸出列。一個關(guān)鍵點在于這兩列與輸出不存在任何關(guān)聯(lián)，每一列都有 50% 的幾率預(yù)測結(jié)果為 1 ，也有 50% 的幾率預(yù)測為 0 。

那么現(xiàn)在的輸出模式會是怎樣呢？看起來似乎與第三列毫不相關(guān)，其值始終為 1 。而第 1 列和第 2 列可以有更為清晰的認識，當其中 1 列值為1（但不同時為 1 ！）時，輸出便為 1 。這邊是我們要找的模式！

以上可以視為一種“非線性”模式，因為單個輸入與輸出間不存在一個一對一的關(guān)系。而輸入的組合與輸出間存在著一對一的關(guān)系，在這里也就是列 1 和列 2 的組合。

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信不信由你，圖像識別也是一種類似的問題。若有 100 張尺寸相同的煙斗圖片和腳踏車圖片，那么，不存在單個像素點位置能夠直接說明某張圖片是腳踏車還是煙斗。單純從統(tǒng)計角度來看，這些像素可能也是隨機分布的。然而，某些像素的組合卻不是隨機的，也就是說，正是這種組合才形成了一輛腳踏車或者是一個人。

我們的策略

由上可知，像素組合后的產(chǎn)物與輸出存在著一對一的關(guān)系。為了先完成這種組合，我們需要額外增加一個網(wǎng)絡(luò)層。第一層對輸入進行組合，然后以第一層的輸出作為輸入，通過第二層的映射得到最終的輸出結(jié)果。在給出具體實現(xiàn)之前，我們來看下這張表格。

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權(quán)重隨機初始化好后，我們便得到了層1的隱態(tài)值。注意到什么了嗎？第二列（第二個隱層結(jié)點）已經(jīng)同輸出有一定的相關(guān)度了！雖不是十分完美，但也可圈可點。無論你是否相信，尋找這種相關(guān)性在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中占了很大比重。（甚至可以認定，這也是訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的唯一途徑），隨后的訓(xùn)練要做的便是將這種關(guān)聯(lián)進一步增大。syn1 權(quán)值矩陣將隱層的組合輸出映射到最終結(jié)果，而在更新 syn1 的同時，還需要更新 syn0 權(quán)值矩陣，以從輸入數(shù)據(jù)中更好地產(chǎn)生這些組合。

注釋：通過增加更多的中間層，以對更多關(guān)系的組合進行建模。這一策略正是廣為人們所熟知的“深度學(xué)習(xí)”，因為其正是通過不斷增加更深的網(wǎng)絡(luò)層來建模的。

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一切看起來都如此熟悉！這只是用這樣兩個先前的實現(xiàn)相互堆疊而成的，第一層（l1）的輸出就是第二層的輸入。唯一所出現(xiàn)的新事物便是第 43 行代碼。

第 43 行：通過對 l2 層的誤差進行“置信度加權(quán)”，構(gòu)建 l1 層相應(yīng)的誤差。為了做到這點，只要簡單的通過 l2 與 l1 間的連接權(quán)值來傳遞誤差。這種做法也可稱作“貢獻度加權(quán)誤差”，因為我們學(xué)習(xí)的是，l1 層每一個結(jié)點的輸出值對 l2 層節(jié)點誤差的貢獻程度有多大。接著，用之前 2 層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)中的相同步驟，對 syn0 權(quán)值矩陣進行更新。

第三部分：總結(jié)?

如果你想認真弄懂神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，給你一點建議：憑借記憶嘗試去重構(gòu)這個網(wǎng)絡(luò)。我知道這聽起來有一些瘋狂，但確實會有幫助的。如果你想能基于新的學(xué)術(shù)文章創(chuàng)造任意結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，或者讀懂不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的樣例程序，我覺得這項訓(xùn)練會是一個殺手锏。即使當你在使用一些開源框架時，比如 Torch ，Caffe 或者 Theano ，這也會有所幫助的。