為了驗證這種基于導數的分段方法在逼近結果的精度方面是否具有優勢，本文選擇了將這種分段方式與傳統的等間距分段方式作對比。首先，將Sigmoid函數的待處理區間進行等分，之后比較每個子區間的函數4階導數的整體變化規律，對導數相對較大的區間進行縮短，對導數相對較小的區間進行擴展。分別對這兩種分段方式下所有的子區間構建3階多項式，通過對比函數各子區間及整體區間的誤差情況來驗證此分段方法的優勢。

本文選用MATLAB作為函數擬合工具，構建擬合多項式使用最小二乘法原理，數據類型選取雙精度浮點數，這樣可以保證在計算過程中精度比較高。下面分別給出兩種分段方式下的分段結果及誤差對比。為了保證實驗結果可靠，各分段區間取的數足夠大(這里以0.000 1為間隔取數)，結果見表1。

通過表1可以得出，當使用三階多項式對Sigmoid函數進行逼近時，參照4階導函數的數值而分段的處理方式在平均絕對誤差和均方差兩項指標上均優于等間距分段的處理方式。從整體區間上看，平均絕對誤差減小了51.4%，均方差減小了71.9%。

2 Sigmoid函數的FPGA實現

為了實現高精度的擬合要求，本文采用表1中基于導數的分段方式，使用三階多項式對Sigmoid函數進行擬合處理，并給出其FPGA實現結構，如圖2所示。設三階多項式為y=Ax3+Bx2+Cx+D，其在FPGA中的計算流程為：

(1)取系數。各分段區間下的系數A、B、C、D預先存儲在RAM中，通過輸入x取出與之對應的系數A、B、C、D。

(2)計算Cx和x2。

(3)計算Cx+D、Bx2和x2。

(4)計算Bx2+Cx+D和Ax3。

(5)計算Ax3+Bx2+Cx+D。

(6)用1和步驟(5)的結果做減法。

(7)選擇器。當輸入的x為非負數時，輸出為步驟(5)的結果；若輸入的x為負數，輸出為步驟(6)的結果。

上述所有的乘法器、加法器和減法器的設計采用Xilinx公司提供的32位單精度浮點型IP核實現，整個算法采用了流水線結構，數據輸入后，10個周期延遲后得到計算結果。具體實驗數據如表2所示。

在實驗過程中，表1的誤差結果是由算法在FPGA上計算得到的結果與Sigmoid函數的真實值(精度遠高于實驗的精度)之間的對比求得的。表2中的誤差結果與表1中的誤差結果相比較在平均絕對誤差方面略有不足，是由于在FPGA中使用的32位單精度浮點數在精度上不同與MATLAB上使用的64位雙精度浮點數，所以兩者之間存在略微差別，然而并不影響算法的準確性。

采用基于導數的分段方式并使用三階多項式的擬合方案在FPGA上所使用的資源雖然比經典的CORDIC算法及分段線性逼近方法較多，然而這種擬合方案在算法的精度上達到了10-5數量級，各小段分段區間甚至達到10-6數量級。當然，采用更高階數的多項式逼近在理論上能夠實現更高的精度，然而這樣的代價是會消耗更多的硬件資源。本文使用的分段非線性逼近法對Sigmoid函數的處理結果上，精度遠遠大于另兩種算法在現有的文獻中所取得的精度。并且若要達到較高精度，CORDIC算法會大大的增加迭代次數從而降低運算速度，分段線性逼近則會大大的增加存儲資源。

3 結論

本文針對人工神經網絡中應用最為廣泛的Sigmoid函數，采用傳統的分段非線性逼近方法，結合Sigmoid函數自身對稱的性質及其導數不均勻的特點，給出合理的分段方式，在各小段分段區間內使用數值分析中經典的最小二乘法作為擬合逼近原理，得出初始分段間距同逼近多項式的階數對擬合結果精度的影響。按照上述方法給出一種在精度上達到了10-5數量級的Sigmoid函數的擬合方案，實現了現階段對Sigmoid函數的高速、高精度的處理要求。