永磁直流電機在控制中，經常要用到各種坐標變換，同時也會碰到各種電感，如：相電感、線電感、直軸電感、交軸電感、相間互感等，特別是電感和坐標變換結合后，就有不少人容易混淆迷惑。下面我們用圖文及公式方式來理解直流電機電感其中的關系。

電感：1824年，奧斯特發現了電流效應，在通電導體周圍的磁針會發生偏轉，也就是電生磁，后來，法拉第和亨利發現了磁也能生電，在移動的磁場能會在導體中感應出電流，這就是現在所說的電磁感應，數學工程式為：

e：感應電壓

dф/dt：磁通的變化率（單位Wb/s）

法拉第發表電磁感應論文不久，楞次發現了決定感應電流方向的規律，也就是楞次定律：感應電流的磁場總要阻礙引起感應電流的磁通量的變化，所以完整數學公式為：

直流電機中控制中的自感與互感

在安倍定律中：磁場產生的根本原因是電流（可以是導體中的電流，也可以是永磁體中的電流）。如下圖所示，一個線圈通電后，就會產生磁場

線圈本身就處于自身產生的磁場中，也就意味著線圈中也會產生磁通磁通，這個量對于我們來說不直觀，也不好測量，既然磁通是由電流產生的那我們可以借助電流來表示，所以電感的定義是：

單位是Henry（亨利），一位美國物理學家，他其實和法拉第幾乎同時獨立的發現了電磁感應現象，只不過法拉第更早的發表了成果，就贏得了冠名權。

我們通常說的電感，嚴格來說應該叫自感，即線圈自己對自己產生磁通的能力。

既然有自感，就會有互感，即兩個線圈之間互相產生磁通的能力。

在直流電機中，電感非常重要，它表達了在某個特定機構中電流產生的磁場能力，電感確定了，我們就能很容易去研究磁場的性質。

什么是磁動勢？

電感的定義是由磁通來定義了，要計算線圈的電感，先就要計算線圈通電后產生的磁場，由此來計算磁鏈，如，直流電機內磁路為線性，鐵芯中的磁滯和渦流損耗可以忽略、氣隙磁場的搞次諧波也可忽略，直流電機的定、轉子表面光滑，齒、槽影響可以用卡式系數修正，直軸和交軸氣隙可以不等，但是氣隙的比磁導可以用平均值加二次諧波來表示

上圖為直流電機定子槽內兩極整距線圈的情況， ⊙為流出，為流入。根據安培環路定理，其磁動勢分布圖為：

磁動勢的幅值為

對方波進行傅里葉級數分析，可知其可由1、3、5，...等奇次諧波組成，其中1次諧波也稱之為基波，其幅值為：

上面分析的是一對極情況，現在假設是p對極，每相繞組總匝數為Nph，則A相基波幅值為：

上面分析時繞組都認為是整距，且每極每相只有一個槽，實際電機很少這種情況，大多每極下面是多槽的，而且還是短距：

我們一般用一個繞組因數kω1來對基波磁動勢進行修正，其幅值為：

直流電機的相電感與互感計算

根據基波磁動勢的幅值，則其沿定子分布為：

有了磁勢，如果能知道磁導（磁阻的倒數），那就能計算氣隙磁密了。對于表貼式直流電機而言，氣隙基本不變，因此磁導和直流電機轉子的位置沒有關系；但是對于直流電機而言，氣隙沿轉子圓周方向一直變換（變化周期是極對數的兩倍），因此磁導還和轉子位置相關。

由于dq軸是定義在直流轉子上的，因此我們可以通過d軸與A相繞組的夾角θ來表示轉子所在的位置。

計算相電感

氣隙比磁導為：

λ(a)=λδ0+λδ2cos2(a+θ)

式中因為氣隙長度變換周期是極對數的2倍，因此有個2次分量，而且當直流電機類型為內嵌式時，?λδ2為負值，即d軸時磁阻最大，磁導最小。

氣隙磁動勢和比磁導的相位關系為：

則氣隙磁密為磁動勢乘以比磁導：

Bδ(a)=Fa1cosa·(λδ0+λδ2cos2(a+θ))

展開成諧波疊加的形式：

所以基波氣隙磁密為：

則A相繞組對應的磁鏈為：

其中?Lσ為A相漏感，τ為極距，l?疊片長度，上式整理可得：

進一步整理可得：

所以A相自感為：

即：

換一種表達方式：

可見，A相繞組的自感不是一個固定值，而是隨轉子的變換而變化。同理可得其他兩相自感為：

Lbb=Ls0+Ls2cos2(θ-2π/3)

Lcc=Ls0+Ls2cos2(θ+2π/3)

計算相間互感

由于B相繞組與A相繞組空間相差120°，其與自感方式基本相同，只需將積分區間由[-π/2?π/2]修改為?[-π/2-2π/3?π/2-2π/3]?，即可以計算A相繞組電流產生的磁場在B相繞組中感應出的磁鏈，具體為：

其中Mσ為互漏感，可以獲得A、B相互感為：

同理可獲得其他兩相的互感為：

直流電機的自感和互感如下圖所示：

如何計算dq軸電感？

一般的直流電機都會用dq軸電感表示，那么問題來了：dq軸電感如何計算或測量？和相電感及互感有什么關系？dq電感和坐標變換有什么關系？

如何確定坐標轉換矩陣？

算電感是為了算磁鏈，進而去計算磁場的某型性質，通過一系列公式，終于把三相繞組的自感和互感計算出來了。

那磁鏈就可以計算：

電感矩陣非常復雜：

而且這個電感矩陣還隨之直流電機轉子的變化而變化著，可以找到一個相似矩陣，這個相似矩陣呢形式比較簡單，只有對角線上有數，而且這個相似矩陣能表征原矩陣的關鍵特征。矩陣對角化本質就是尋找矩陣空間的正交基以及在“基”上的投影系數。那電感矩陣是不是可以進行對角化呢？

可以按照矩陣對角化的步驟：

Del|Ls-λI|=0

可以得到三個特征值，分別是：

其中特征值λ1對應的特征向量是：

特征值λ2對應的特征向量是：

特征值?λ3對應的特征向量是：

則3個特征向量可以組成如下特征矩陣：

這個特征矩陣就是克拉克變換和帕克變換的乘積，該特征矩陣的逆矩陣為：

則電感矩陣的特征值可以用特征矩陣及其逆矩陣來計算，即

一般稱λ1為Ld；

λ2為Lq；λ3為L0，即：

dq軸的電感就是三相繞組電感矩陣的特征值，dq電感是一個常量了，cos2θ等變化因子消失了，也就是說通過對角化（坐標變換），原先較為復雜的電感矩陣對角化和常數化了，是定子的磁鏈方程解耦了！同時：dq軸電感與變換矩陣無關，是電感矩陣的固有屬性。

恒功率變換

在坐標變換的時候，有的變換矩陣前面有個系數2/3 ，有的是

，有的又沒有，這到底有什么關系呢？

電壓矢量、電流矢量以及磁鏈矢量的關系為：

電感對角畫的時候求取了變換矩陣C?，現在我們需要把電壓矢量、電流矢量以及磁鏈矢量也進行坐標變換：

Us=Cu’s

is=Ci’s

Ψs=CΨ’s

則變換后的功率為：

P=isTus=(Ci’s)T(Cu’s)=(i’s)T(CTC)u’s

把C?和CT?代入上式，就可以得到：

不考慮零軸分量，發現變換后的功率是變換前的3/2倍！也就是說，變換前后功率不守恒了，那通過功率計算的轉矩就會不準確了，需要進行修正。

把特征矩陣變為下面這個就可以做到功率守恒

這個矩陣也是最常用的變換矩陣。

dq軸電感測量方法

通過建立直流電機模型，就要知道dq軸電感，兩種方式，一種是計算，一種是測量。計算比較容易，建立直流電機的有限元模型，現在的電磁計算軟件都有電感矩陣計算功能，計算出來求特征值就行了，有的軟件都能直接給出dq軸的電感。

一般來說有2種方式來測電感，一種是通過三相繞組，一種是通過兩相繞組。

用三相測dq軸電感

將B、C兩相繞組并聯在一起，形成一個新的端點，用LCR表或其他裝置測量該端點和A相繞組端點之間的電感。

此時因為：

B相繞組和C相繞組并聯，具有相同的磁鏈，因此只計算B相繞組的磁鏈：

則總的磁鏈為：

Ψ=Ψa-Ψb

則等效電感為：

當θ=0時：

當θ=±π/2時：

可見，當直流電機轉子合適的位置測電感時，可以分別獲得d軸電感和q軸電感。但是這種方法有一個難點就是如何知道轉子此時的位置，一個近似的測法是緩慢的旋轉轉子，記下電感的最大值和最小值，此時：

用兩相測dq軸電感

用兩相繞組也可以直接測量，比如直接測量B、C兩相端部之間的電感。

此時，B相繞組的磁鏈為：

Ψb=(Lbb-Lbc)i

B相繞組的磁鏈為：

Ψc=(Lbc-Lcc)i

總的磁鏈為：

Ψ=Ψb-Ψc

等效電感為：

同樣，緩慢的旋轉直流電機轉子，記下電感的最大值和最小值，此時：

由于直流電機是比較復雜的電磁產品，里面電感構型比較復雜，既有自感又有互感，電感之間既有并聯，也有串聯，電感串聯和并聯的特性非常重要

同向串聯電感

上圖描述了兩個繞向相同的電感串聯時的模型，其中用黑點表示繞組電流流入方向，電流和磁鏈方向如圖所示。

第一個電感產生的總磁鏈為：

Ψ1=L1i1+|M|i2

第二個電感中產生的總磁鏈為：

Ψ2=L2i2+|M|i1

兩個電感中的電流方向相同：

i1=i2

兩個電感等效成一個電感時，總的磁鏈為：

Ψ=Ψ1+Ψ2=(L1+L2+2|M|)i

則等效電感為：

反向串聯電感

此時兩繞組繞向相反，由于定義的電流正方向為繞組的流入方向，在此規定下，兩繞組的電流數值關系是：

i1=-i2

所以總的等效磁鏈為：

Ψ=Ψ1-Ψ2=(L1+L2-2|M|)i

則等效電感為：

同向并聯電感

兩個電感并聯時是比較反直覺的，下面我們就來仔細分析一下。上圖是繞向相同的兩個電感并聯時情況，此時，由基爾霍夫電壓定律每個電感兩端的電壓應該是一致的。即：

對于第一個電感：

對于第二個電感：

由基爾霍夫電流定律：

i=i1+i2

整理可得：

所以等效電感為：

反向并聯電感

兩電感方向繞向相反，則根據基爾霍夫電壓定律：

由基爾霍夫電流定律：

i=i1-i2

可計算的等效電感為：

簡單來說：

當兩電感串聯時：Ls-L1+L2±2M?，繞向相同時為+，繞向相反時為-；

當兩電感并聯時：

，繞向相同時為+，繞向相反時為 -。

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