數(shù)字濾波器原理

　　數(shù)字濾波器主要由數(shù)字乘法器、加法器、延時(shí)電路等部分構(gòu)成，其實(shí)就是一個(gè)數(shù)字信號(hào)處理器，主要使用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)字信號(hào)按照預(yù)先編制的程序進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算。若采用通用的計(jì)算機(jī)，隨時(shí)編寫(xiě)程序就可以完成對(duì)信號(hào)的處理，但速度較慢;若采用專用的計(jì)算機(jī)，其芯片是根據(jù)固定的計(jì)算方法制成的一種集成電路，連接信號(hào)后就可以完成對(duì)信號(hào)的處理，速度較快，但處理方式無(wú)法更改;若采用可編程的計(jì)算機(jī)芯片，則既可以編寫(xiě)不同程序以達(dá)到處理方式的多樣化，又具有較快的處理速度，因此是目前市場(chǎng)內(nèi)應(yīng)用最為廣泛的。

　　數(shù)字濾波器對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行濾波時(shí)的步驟如下圖所示，首先經(jīng)過(guò)模數(shù)轉(zhuǎn)換器將待處理的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，再經(jīng)數(shù)字信號(hào)處理器對(duì)待處理的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行處理，最后經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換器將處理過(guò)的數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為模擬信號(hào)，至此，完成了對(duì)模擬信號(hào)的處理。我們可以這樣來(lái)理解數(shù)字濾波器，它是一種通過(guò)對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行處理來(lái)完成對(duì)數(shù)字信號(hào)或者模擬信號(hào)進(jìn)行濾波的儀器。

　　數(shù)字濾波器分類

　　濾波器根據(jù)功能的不同可分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器四種;根據(jù)實(shí)現(xiàn)方法的不同可分為FIR濾波器和IIR濾波器兩種;根據(jù)設(shè)計(jì)方法的不同可分為切比雪夫?yàn)V波器和巴特沃斯濾波器;根據(jù)處理信號(hào)的不同可分為經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器兩種;根據(jù)處理信號(hào)的不同可以分為數(shù)字濾波器和模擬濾波器。數(shù)字濾波器是濾波器的一種，但以上分類都是獨(dú)立的，因此數(shù)字濾波器也具有以上幾種分類形式。

　　數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法及步驟

　　一、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法

　　1、Butterworth濾波器設(shè)計(jì)步驟：

　　⑴確定階次N

　　①已知Ωc、Ωs和As求ButterworthDF階數(shù)N

　　②已知Ωc、Ωs和Ω=Ωp的衰減Ap求ButterworthDF階數(shù)N

　　得到N：

　　③已知Ωp、Ωs和Ω=Ωp的衰減Ap和As求ButterworthDF階數(shù)N

　　⑵用階次N確定Ha（s）

　　根據(jù)公式：

　　2、切比雪夫低通濾波器設(shè)計(jì)步驟：

　　⑴確定技術(shù)指標(biāo)Ωp，ap，Ωs，as

　　⑵根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N及

　　⑶求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)其中極點(diǎn)由下式求出：

　　或者由N和S直接查表得Ha（p）

　　⑷去歸一化：

　　二、數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟：

　　1、確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率、通帶最大衰減系數(shù)

　　阻帶截止頻率、阻帶最小衰減系數(shù)。

　　2、將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。巴特沃斯

　　3、把模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器，即把模擬濾波器的系數(shù)映射成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。

　　實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)s域至z域映射有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性映射兩種方法。

　　（1）脈沖響應(yīng)不變法。

　　按照技術(shù)要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z）。

　　對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z）

　　經(jīng)過(guò)一系列變換得到：

　　（2）雙線性變換法

　　這種變換方法，采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到±π/T之間，再轉(zhuǎn)換到z平面上。設(shè)Ha（s），s=jΩ，經(jīng)過(guò)非線性頻率壓縮后用Ha（s1），表示，這里用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：

　　式中T仍是采樣間隔，當(dāng)Ω1從-π/T經(jīng)過(guò)0變化到π/T時(shí)，Ω則由-∞經(jīng)過(guò)0變化到+∞，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的±π/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有

　　兩種方法比較：

　　脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)：

　　1，模擬頻率到數(shù)字頻率的轉(zhuǎn)換時(shí)線性的；

　　2，數(shù)字濾波器單位脈沖響應(yīng)的數(shù)字表示近似原型的模擬濾波器單位脈沖響應(yīng)，因此時(shí)域特性逼近好。

　　缺點(diǎn)：

　　會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象，只適合帶限濾波器雙線性變換法優(yōu)點(diǎn)：

　　克服多值映射得關(guān)系，可以消除頻率的混疊

　　缺點(diǎn)：

　　時(shí)域到頻域的變換是非線性的，在高頻處有較大的失真。

　　三、數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟：

　　①數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為：通帶截止頻率ωp阻帶截止頻率ωs通帶衰減頻率αP阻帶衰減頻率αs

　　②預(yù)畸變處理，將數(shù)字高通指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通指標(biāo)

　　③確定階數(shù)N由（可由模擬低通濾波器設(shè)計(jì)方法可得

　　④歸一化及去歸一化查表令s=s/Ω歸一化模擬低通圓型系統(tǒng)函數(shù)

　　⑤低通向高通轉(zhuǎn)化令s1=1/s由頻率變換公式

　　⑥濾波器數(shù)字化令利用雙線性變換化

　　數(shù)字高通不能采用脈沖響應(yīng)不變法原因是：脈沖響應(yīng)不變法有頻譜周期延拓效應(yīng)，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通。而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小，至于高通濾波器，由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。

　　四、數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)：

　　步驟：

　　（1）確定性能指標(biāo)：在設(shè)計(jì)帶通濾波器之前，首先根據(jù)工程實(shí)際的需要確定濾

　　波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率wc1，wc2、阻帶截止頻率wr1，wr2、阻帶最小衰減αs通帶最大衰減αp

　　（2）對(duì)帶通數(shù)字濾波器H（z）的數(shù)字邊界頻率預(yù)畸變

　　得到帶通模擬濾波器H（s）的邊界頻率

　　主要是通帶截止頻率ωp1，ωp2;阻帶截止頻率ωs1，ωs2的轉(zhuǎn)換。

　　對(duì)雙線性變換法一般T=2s

　　通帶截止頻率wc1=（2/T）*tan（wp1/2）、wc2=（2/T）*tan（wp2/2）

　　阻帶截止頻率wr1=（2/T）*tan（ws1/2）、wr2=（2/T）*tan（ws2/2）

　　阻帶最小衰減αs通帶最大衰減αp

　　（3）低通到帶通頻率變換

　　將模擬帶通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器指標(biāo)。

　　B=wc2-wc1

　　normwr1=（（（wr1^2）-（w0^2））/（B*wr1））

　　normwr2=（（（wr2^2）-（w0^2））/（B*wr2））

　　normwc1=（（（wc1^2）-（w0^2））/（B*wc1））

　　normwc2=（（（wc2^2）-（w0^2））/（B*wc2））

　　模擬低通濾波器指標(biāo)：

　　normwc，normwr，αp，αs

　　（4）設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器。查表得到歸一化低通傳輸函數(shù)G（p）：

　　用模擬低通濾波器設(shè)計(jì)方法（由巴特沃斯設(shè)計(jì)步驟或切比雪夫設(shè)計(jì)步驟）得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha（s）

　　（5）模擬低通濾波器轉(zhuǎn)化為模擬帶通濾波器。

　　（6）利用雙線性變換法將模擬帶通濾波器Ha（s）轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H（z）

　　兩種方法比較比較：

　　脈沖響應(yīng)不變法數(shù)字濾波器單位脈沖響應(yīng)的數(shù)字表示近似原型的模擬濾波器單位脈沖響應(yīng)，因此時(shí)域特性逼近好。但會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象，只適合帶限濾波器雙線性變換法可以克服多值映射得關(guān)系，可以消除頻率的混疊但時(shí)域到頻域的變換是非線性的，在高頻處有較大的失真。

　　五、數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)：

　　步驟：

　　（1）確定性能指標(biāo)：

　　通帶截止頻率wc1，wc2、阻帶截止頻率wr1，wr2、阻帶最小衰減αs通帶最大衰減αp

　　（2）對(duì)帶通數(shù)字濾波器H（z）的數(shù)字邊界頻率預(yù)畸變

　　主要是通帶截止頻率ωp1，ωp2;阻帶截止頻率ωs1，ωs2的轉(zhuǎn)換。

　　對(duì)雙線性變換法一般T=2s

　　通帶截止頻率wc1=（2/T）*tan（wp1/2）、wc2=（2/T）*tan（wp2/2）

　　阻帶截止頻率wr1=（2/T）*tan（ws1/2）、wr2=（2/T）*tan（ws2/2）

　　阻帶最小衰減αs通帶最大衰減αp

　　（由模擬低通濾波器設(shè)計(jì)方法可得

　　模擬低通濾波器確定模擬帶阻濾波器

　　由模擬低通到模擬帶阻的變換這一模擬低通到帶阻的變換關(guān)系為

　　數(shù)字帶阻濾波器不能用脈沖響應(yīng)不變法：原因是脈沖響應(yīng)不變法有頻譜周期延拓效應(yīng)，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通。而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小，至于帶阻濾波器，由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。