摘要

Moku時間間隔與頻率分析儀（TFA）功能進一步升級，在時間間隔測量精度與檢測配置靈活性方面實現顯著提升。全新版本支持實時計算并可視化顯示g(2)二階關聯函數，為量子光學、單光子探測及相關前沿研究提供更高效、直觀的測量手段。在本應用筆記中，我們將概述二階關聯函數及其物理意義。隨后，我們將介紹如何使用Moku 時間間隔與頻率分析儀進行配置并采集數據，說明如何使用其內置新增的分析功能來計算二階關聯函數。最后，我們將演示兩種不同的計算方法，并展示兩者結果具有良好一致性。

01

背景介紹

經典光源與量子光源具有廣泛用途，既可覆蓋量子光學、量子計算等量子領域，也可以應用于激光干涉測量等經典場景。光源通常可按其發射的統計特性進行分類，例如：相干光源、熱光源、混沌光源或量子光。相干光源以激光為代表，其相位穩定，發射光子的數量漲落服從泊松統計。熱光源（如白熾燈或恒星）則由大量彼此不相關的輻射體共同發光，往往呈現出突發形式的發射特征。量子光源（如壓縮光或單光子發射體）會表現出“反聚束（anti-bunching）”效應：當剛探測到一個光子后，緊接著再探測到下一光子的概率最低。這是一種典型的量子效應，任何經典光源都無法產生。在量子應用中，表征光源的統計發射特性往往至關重要，因為這有助于驗證所使用的是否為真正的量子光源。類似地，激光的精度通常會受限于由光子數目主導的泊松統計。評估光發射統計特性的一種方法，是使用二階關聯函數g(2)(τ)——這一指標在經典與量子光學中被廣泛采用。在這篇應用說明中，我們介紹兩種使用Moku測量g(2)(τ)的方法。自MokuOS 4.1起，時間間隔與頻率分析儀內置了通過自卷積法實現g(2)(τ)實時計算功能。除此之外，我們還可以利用Moku時間間隔與頻率分析儀采集含有時間戳的信號事件數據，然后通過全配對法在后處理階段計算g(2)(τ)。我們將分別概述這兩種方法，并使用Moku進行實驗并記錄帶有時間戳的光子事件來加以驗證。隨后，我們將詳細說明如何生成具有時延的直方圖，并據此計算二階關聯函數，并將該結果與時間間隔與頻率分析儀內置的g(2)(τ)計算功能進行對比。

02

什么是二階關聯函數

二階關聯函數g(2)(τ)用來回答一個問題：如果剛探測到一個光子事件，則過了τ之后再探測到下一個光子事件的概率，是比在“隨機到達”的情況下更大還是更小。其中τ=0 處的值尤為重要，因為它可用于推斷光源在同一時刻發射多個光子的可能性。例如：

若g(2)(0)>1，則光源傾向于成對發射光子。我們稱為“聚束”，通常表明該光源具有熱光源特征。舉例來說，g(2)(τ=0)=2表示：在總測量時長T內，與“任意時間延遲τ”對應的平均符合計數相比，時間延遲接近0的符合事件（事件對）數量是前者的兩倍。

若g(2)(0)<1，則光源傾向于以規律時間間隔發射光子，幾乎不會在同一時刻發射超過一個光子。我們稱為“反聚束”，是單光子光源所期望具備的重要特性。

若g(2)(0)=1，則發射光子之間不存在相關性（即到達時間彼此獨立）。這常見于相干光源，例如激光。

這三種情況的仿真結果如下面圖1所示。

圖1.對泊松（隨機）、聚束與反聚束三種情況進行的仿真結果如圖所示。相干情形在整個時間跨距內始終保持在 1；而聚束與反聚束情形在τ=0 處分別趨近于 2 和 0。對于該圖中的每一種情況，二階關聯函數均可以采用兩種不同的方法計算得到。相關方法將在本應用筆記的后續章節中介紹。為演示如何使用并計算g(2)(τ)，我們先引入Hanbury–Brown–Twiss（HBT）效應。在HBT實驗中（見圖2），待測光源發出一串光子并進入一個50/50分束器，分束器將單個光子分配到兩條光路中的任意一路。兩個單光子探測器（被標記為“A”和“B”）分別監測兩條光路中光子的到達情況。兩臂之間的任意光程差都會導致兩個探測器接收到光子的時間出現相對延遲（時間偏移）。當探測器記錄到一次光子事件時，會產生一個電脈沖并將其送入時間間隔分析儀（TIA）。TIA的作用是對A、B兩路的光子事件進行高精度時間戳標記與記錄，用于后處理。正如我們將在下一節推導的那樣，A與B兩路事件之間的時間關聯性決定了二階關聯函數的取值。

圖2.典型的 Hanbury–Brown–Twiss（HBT）實驗配置：對光電探測器 A 與 B 的輸出信號進行測量。時間間隔分析儀用于記錄從事件 A 到事件 B 的時間偏移（延遲）。

03

量化二階關聯函數和重合率

二階關聯函數g(2)(τ)可表示為光子探測計數的乘積在時間上的平均值：

其中，nA(t)和 nB(t) 分別表示在時刻 t 與 t+τ時，探測器 A 與探測器 B 上的光子探測事件率。符號??? 內的量表示對時間取平均，即：

在建立了g(2)(τ)的定量定義之后，下面我們討論如何求得?nA(t)?nB(t+τ)?。這對應于時間平均后的符合率，也可以理解為在時刻t探測到一個光子事件、并在t+τ再探測到另一個光子事件的概率密度——且不論第一個事件來自哪一路探測器。這意味著，A路出現一次初始事件后，B路后續可能以級聯形式依次出現第一個、第二個甚至第三個事件。在計算符合率時，這些情況都必須納入統計。隨后，將得到的各個τ值進行分箱處理并歸一化，即可得到對?nA(t)?nB(t+τ)?的預估。

04

測量時間延遲直方圖

HBT實驗的關鍵之一是時間間隔分析儀，它負責采集探測到的光子事件并生成時間間隔直方圖。正如圖3所示，Moku時間間隔與頻率分析儀可針對HBT實驗配置并進行測量。在該實驗中，單光子探測器（SPDs）A與B分別接入Moku的輸入1與輸入2。時間間隔與頻率分析儀可用于檢測SPDs輸出的脈沖信號，其中輸入1作為事件檢測的開始，輸入2作為事件檢測的終止。有關如何配置Moku以進行HBT測量的更多細節，請點擊“閱讀原文”參閱我們關于該部分內容的配置指南。

圖3.使用 Moku 時間間隔與頻率分析儀的HBT 測量配置，可生成延遲直方圖并記錄帶時間戳的數據。在測量過程中，時間間隔與頻率分析儀會記錄連續發生的A、B事件之間的延遲時間，并據此實時構建被探測到的光子對的延遲數密度分布（即延遲直方圖）。需要注意的是，時間間隔與頻率分析儀實時生成的直方圖僅統計第一階段的符合事件，因此仍需進行一定的后處理才能計算出g(2)(τ)。值得一提的是，現在可以通過內置的自卷積過程，將時間間隔數據的分布轉換為g(2)(τ)的近似結果；下一節將對此進行說明。這構成了Moku時間間隔與頻率分析儀內置g(2)(τ)計算功能的基礎。

05

數據分析

假設我們已經獲得由時間間隔與頻率分析儀采集到的時間間隔直方圖。我們將該分布態勢記為k(τ)，它記錄的是：對某一路中的一個光子事件，在另一路中找到其后出現的第一個光子事件，并取這兩次事件的到達時間差。用偽代碼表示為：

正如上一節所述，k(τ)僅對應第一階段延遲的概率密度函數。盡管k(τ)在形式上看起來與?nA(t)?nB(t+τ)?相似，但它只包含一階貢獻，沒有將因更長事件級聯產生的光子納入統計。舉例而言，到達時刻為t+τ1+τ2或t+τ1+τ2+τ3的光子事件不會被計入。
因此，k(τ)通常不直接用于計算g(2)(τ)。相反，人們需要顯式統計事件A與事件B之間的每一次符合計數，直至最大統計時間。用偽代碼表示該過程為：

隨后，將這些τ值進行分箱處理以生成直方圖，并進行適當歸一化，使得當某一延遲值下g(2)(τ)=1時表示該延遲值下不存在關聯性。盡管該方法直觀且直接了當，但其計算規模擴展性較差，因為需要將每一個事件A與每一個事件B進行比較，計算量為O(NA×NB)。當事件發生率較高時，這一運算量會迅速變得非常龐大。因此，這樣很難在硬件上實現實時計算。

所以Moku時間間隔與頻率分析儀采用了另一種替代方法來實時計算g(2)(τ)，該方法更利于發揮FPGA的性能優勢。其核心是對k(τ)進行高階自卷積，得到一組分布k(n)(τ)。其中k(n)(τ)表示：在一級聯光子事件序列中，相對于初始觸發事件，后續第n次光子事件出現在延遲τ處的概率密度。換言之，它對應于從初始光子事件到第n個后續光子事件之間的延遲分布。將所有階次的貢獻疊加后，得到在初始觸發之后、延遲為τ處觀測到光子事件的總概率密度G(τ)（不區分來自第幾次后續光子事件），其與下式所示的無限求和成正比[1]：

該求和關系式可以理解為對彼此互斥的多種路徑取“邏輯或”：它表示在延遲τ處觀測到一次光子事件，可能來自后續的第1次事件、或第2次、或第3次，以此類推。每一項對應一種相互獨立的可能性；將它們相加即可得到延遲為τ時的總到達密度。因此，

在下一節中，我們將以兩種方式測量g(2)(τ)：第一種是記錄事件時間戳并通過全配對法計算完整的成對統計結果；第二種是使用Moku內置的g(2)(τ)計算功能。

06

使用 Moku 時間間隔與頻率分析儀模擬實驗并驗證 g(2)(τ)

為仿真泊松事件分布，我們使用Moku:Pro搭建了一套全數字電路實驗系統。利用MiM -多儀器并行模式，我們將Moku的FPGA劃分為四個儀器插槽，每個插槽分別部署實驗所需的儀器功能。配置與連接示意圖見圖4。圖4.多儀器并行界面。第一個波形發生器充當“光子源”，并觸發第二個波形發生器輸出脈沖。脈沖信號被連接到Moku時間間隔與頻率分析儀進行統計計算。示波器用于監測第二個波形發生器的輸出。首先，我們配置第一個波形發生器，用于產生兩路彼此不相關的噪聲信號。在配置界面中，點擊并打開輸出A與輸出B。將兩路輸出的波形類型設置為“噪聲”，并將幅度設為1 Vpp。波形發生器的配置如圖5所示。圖5. Moku 波形發生器配置。用于生成兩路彼此不相關的噪聲信號

其次，我們配置第二個波形發生器來模擬一對光電探測器。我們選擇脈沖輸出，頻率設為10 MHz，脈沖寬度設為20 ns。隨后啟用N周期突發模式，并將觸發閾值設為400 mV。每個通道分別由第一個波形發生器的一路噪聲源來觸發。通過這種方式，當輸入信號達到設定電壓閾值時，第二個波形發生器就會被觸發并輸出一個方波脈沖，從而在行為上模擬單光子探測器的輸出。本例中閾值被設為400 mV，也可以調整該閾值，以改變“光子”事件的發生頻率。第二個波形發生器的配置如圖6所示。

圖6.第二個波形發生器配置界面，兩個通道被配置為輸入的噪聲信號到達設定閾值時，會觸發并輸出一個方波脈沖，以此來仿真單光子探測器。
然后，我們配置時間間隔與頻率分析儀，用來檢測在輸入A和輸入B通道上發生的“光子”事件。在事件配置選項卡中，將事件檢測設置為上升沿觸發，閾值設為0 V；隨后測量從事件A開始到事件B結束的時間間隔。由于事件重復頻率較高，我們采用窗口化采集模式進行測量，并將測量時間窗口設為100 ms，以獲取足夠多數量的信號事件。最后，我們在第四個儀器槽上部署示波器，用于觀察第二個波形發生器的輸出。完成所有儀器部署配置并啟用波形發生器輸出后，即可在示波器上看到如圖7所示的波形：A、B兩個通道上均應出現隨機分布的“事件”脈沖信號，我們會發現有時兩個脈沖信號會在時間上非常接近。

圖7. 示波器顯示界面，顯示第二個波形發生器輸出的“光子”事件脈沖，模擬部分商用單光子探測器所使用的TTL輸出信號類型。打開時間間隔與頻率分析儀的儀器界面，我們同樣會看到這些事件在直方圖中逐漸累積。正如上一節所述，該直方圖僅反映最近相鄰事件之間的時間間隔，并未包含二階或三階等更高階級聯事件的貢獻。點擊名為“間隔直方圖”的按鈕即可切換顯示，以此查看儀器內置的g(2)(τ)計算結果。我們在圖8中并排對比顯示這兩種結果。由于二階關聯函數是對直方圖進行自卷積得到的，其曲線形態會有明顯差異；其數值整體在1附近波動，表明事件A與事件B之間不存在關聯性——這也正是偽隨機分布理應得到的預期結果。

圖8.上：實時更新顯示的直方圖，呈現從事件A到事件B的時間間隔分布。下：g(2)(τ)曲線在1附近保持穩定，表明事件之間不相關性。

07

通過Python讀取時間戳數據計算g(2)(τ)

為驗證兩種方法的一致性，下面我們將使用時間間隔與頻率分析儀記錄的時間戳數據來估算g(2)(τ)。

第一步在導入常規的模塊包之后，將記錄數據分別讀入兩個數組A_times和B_times。隨后，我們對每個事件A尋找其后出現的下一個事件B，從而得到一階時間間隔信息——這與Moku時間間隔與頻率分析儀繪制的直方圖結果一致。有了時間戳數據與直方圖信息后，我們即可按上一節所述的方法計算g(2)(τ)。第一種方法如圖9所示：對A_times中的每個事件，搜索B_times中所有發生在其后的事件，并計算相應的時間延遲。這些延遲值隨后進行分箱處理并作適當歸一化。

圖9：通過手動計算所有時間延遲來求取g(2)(τ)，即全配對方法。第二種方法中，我們對一階事件直方圖進行自卷積，可得到一個與前述定義的時間平均符合率成正比的量。為此，我們先配置時間間隔與頻率分析儀，并通過get_data()函數獲取直方圖數據；該函數會返回時間分箱列表，以及對應每個分箱計算得到的g(2)(τ)數值。相關代碼如圖10所示。圖10：使用Python直接從Moku設備獲取g(2)(τ)數據。接下來，我們將兩種方法的結果進行對比：把完整的全配對計算結果與Moku設備內部計算得到的曲線并排繪制。對比結果如圖11所示。兩種方法計算結果良好吻合，在整個時間范圍內均得到接近1的g(2)(τ)值——這正是兩路互不相關信號所應呈現的預期結果。

圖11：繪制從Moku采集的g(2)(τ)數據曲線。該結果分別采用全配對方法與時間間隔與頻率分析儀的卷積近似兩種方式得到。將兩者繪制在同一時間軸上可見良好一致性。

由于兩種計算路徑不同，卷積法與成全配對法在g(2)(τ)上可能會出現細微差異，尤其是在τ≈0處附近。卷積法使用由Moku得到的、經過分箱處理的直方圖數據進行計算；而全配對法則對所有事件對組合進行顯式計算。

這兩種方法在數學上都是計算二階關聯函數的有效途徑。對于大多數應用而言，它們會給出等效的結果。但也需要注意，在某些邊界條件或特定類型探測器的配置下，兩種方法之間可能會出現輕微差別。

總結

二階關聯函數是一種用于評估光源的時間動力學的強有力工具；在量子光學應用中更是至關重要，其應用范圍覆蓋從加密通信到光子計算等方向。

Moku時間間隔與頻率分析儀具備亞皮秒的數字分辨率且無死時間，用于精確測量事件之間的時間間隔。不僅支持單一界面對光子、頻率和事件進行計數，還可以執行抖動分析和記錄高分辨率原始事件時間戳，最新升級版本增加了實時計算和顯示g(2)(τ)功能。

在本文中，我們使用Moku時間間隔與頻率分析儀通過兩種方法計算了二階關聯函數g(2)(τ)。第一種方法是利用時間間隔與頻率分析儀內置的g(2)(τ)實時計算功能，通過卷積法生成該結果。第二種方法則演示了如何以精確時間分辨率采集帶時間戳的光子事件，并使用Python進行計算分析，通過全配對方法計算g(2)(τ)。將兩種結果并排繪制后，我們驗證了它們之間具有良好一致性。

無論是研究相干激光，還是單光子發射源，熟悉這兩種g(2)(τ)的計算方法將有效幫助用戶識別相對于理想行為的偏差，并對光源性能進行高效量化評估。

市場活動預告

Moku是由Liquid Instruments基于FPGA技術開發的多功能測試測量平臺，結合高帶寬模數轉換器和數模轉換器，實現信號生成、調節控制及測試分析等16+種儀器功能。最新高性能型號Moku:Delta支持同時部署運行任意波形發生器、激光鎖頻/穩頻器、鎖相放大器、時間間隔與頻率分析儀等高達8種儀器功能，不僅滿足激光穩頻與功率穩定要求，還可應對微弱信號的解調檢測、光子計數，以及原子陣列的二維排布與精確尋址等多重測試測量需求，極大緩解了量子實驗系統的復雜性。單臺設備可配置超過二十億種自定義測試測量方案，最大限度地滿足量子實驗定制化需求。