物理學(xué)界最難的方程，描繪的竟是看似簡單的日常現(xiàn)象。這個賞金高達(dá)百萬美元的納維-斯托克斯方程中，隱藏著哪些關(guān)于流體的奧秘？

物理學(xué)中包含了大量公式，它們描繪著物理學(xué)的種種現(xiàn)象，從宏觀時空的延展到微觀光子的碰撞。在所有這些公式中，有一組公式在數(shù)學(xué)上也極具挑戰(zhàn)性，甚至被美國克雷數(shù)學(xué)研究所選作七個“千禧年大獎難題”之一，與龐加萊猜想、P=NP？等數(shù)學(xué)界的頂級難題并列，解決該問題的獎金高達(dá)100萬美元。而這個物理界最難的公式，就是用于描述流體運(yùn)動的納維-斯托克斯方程。

最近，一項關(guān)于納維-斯托克斯方程的最新研究得以發(fā)表。某種程度上，新的研究成果說明攻克這項千禧年大獎難題比預(yù)想的還要困難。為什么用數(shù)學(xué)理論闡明這組方程是如此困難，甚至相比之下，用于描述奇特黑洞的愛因斯坦場方程都顯得更容易一些？

湍流，就是答案。這是一種再常見不過的現(xiàn)象。無論是在3萬英尺高空飛行時顛簸的氣流，還是家里浴缸出水口形成的漩渦，本質(zhì)都是湍流。然而，熟悉的湍流卻是物理世界中最難以理解的部分之一。

一條平穩(wěn)流動的河流，是一個典型的無湍流體系，河流的每一部分以相同的速度運(yùn)動。湍流則打破了這一規(guī)律，使得水流不同部分的運(yùn)動方向和運(yùn)動速率都不相同。物理學(xué)家將湍流的形成描述為：首先，平穩(wěn)流動中出現(xiàn)一個渦流，這個渦流中會形成更多小渦流，小渦流進(jìn)一步分化，使得流體被分解成許多離散的部分，在各自運(yùn)動方向上與其他部分相作用。

科學(xué)家們希望理解的是，平流如何一步步瓦解成為湍流、已產(chǎn)生湍流的體系之后的形狀是怎樣演變的。但千禧年大獎懸賞的是更為簡潔的問題：證明方程的解總是存在。換句話說，這組方程能否描述任何流體，在任何起始條件下，未來任一時間點(diǎn)的情況。

“第一步就是要盡力證明這些方程可以產(chǎn)生一些解，”來自普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)家CharlieFefferman說道，“盡管這并不能讓我們真正理解流體的行為，但不這樣做，就完全無法入手這個難題。”

如何證明那些解存在呢？首先可以考慮方程在什么條件下會“無解”。納維-斯托克斯方程組涉及流速、壓力等物理量的變化。數(shù)學(xué)家們關(guān)心的這樣的情況：你在運(yùn)算這組方程，經(jīng)過有限的時間，系統(tǒng)中出現(xiàn)一個以無限速度運(yùn)動的粒子。那樣就會很麻煩：對于一個無限大的量，我們無法計算出它的變化。數(shù)學(xué)家們把這種情況稱為“發(fā)散”（blowup）。在“發(fā)散”的情況下，方程失效，解也就不復(fù)存在。

納維-斯托克斯方程

證明“發(fā)散”的情況不會發(fā)生（或者說方程解總是存在），等同于證明流體中任何粒子的最大運(yùn)動速率，被限制在某一有限的數(shù)值之下。相關(guān)物理量中，最重要的量是流體中的動能。

當(dāng)我們用納維-斯托克斯方程對流體建模，流體會具有一定初始能量。但是在湍流中，這些能量會聚集起來。原本均勻分散在流體中的動能，可能會聚集在任意小的渦流中，那些渦流中的粒子在理論上可以被加速到無限大的速度。

“當(dāng)我的研究進(jìn)入越來越小的尺度，動能對于方程解的控制作用則越來越弱。解可以是任意的，但我不知道如何去限制它。” 普林斯頓大學(xué)的VladVicol說到，他和Tristan Buckmaster合作完成了有關(guān)納維-斯托克斯方程的最新工作。

根據(jù)方程失效的尺度，數(shù)學(xué)家們對像納維-斯托克斯這樣的偏微分方程進(jìn)行分類。納維-斯托克斯方程就處于分類譜系的極端。這組方程中的數(shù)學(xué)難度，某種意義上精確地反映出其所描述湍流體系的復(fù)雜程度。

“在數(shù)學(xué)角度看，如果你將某一點(diǎn)放大，那么就會失去解的部分信息，”Vicol解釋說，“但是湍流的研究恰恰就是這樣——動能從宏觀傳遞向越來越小的尺度。所以，湍流的研究要求你不斷地放大。

當(dāng)談及物理背后的數(shù)學(xué)公式，我們很自然地會想到：這會不會給我們研究物理世界的方式帶來變革？納維-斯托克斯方程和千禧年大獎引出的答案既是肯定也是否定的。經(jīng)過近200年的實驗，這些方程確實有效：由納維-斯托克斯方程預(yù)測的流體流動與實驗中觀察到的流動總是相符的。如果你是一位物理學(xué)家，實驗中這樣的一致性或許已經(jīng)足夠。但數(shù)學(xué)家需要的更多——他們想要確定這組方程是否具有普遍性，想要精確捕捉流體的瞬時變化（無論何種初始條件），甚至去定位湍流產(chǎn)生的那個起點(diǎn)。

Fefferman說：“流體行為的詭譎總是令人驚嘆。而那些行為理論上可以用這組基本方程來解釋。它能很好地描述流體的運(yùn)動。但是從方程描述流體運(yùn)動到描述任意流體的真實運(yùn)動，這一過程仍然未知。”