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(1) 什么是線性時(shí)不變系統(tǒng)(LTI System)?

線性時(shí)不變系統(tǒng)，英文全稱是linear time-invariant system，簡(jiǎn)稱LTI System。

線性時(shí)不變系統(tǒng)，即這個(gè)系統(tǒng)既是線性系統(tǒng)，又是時(shí)不變系統(tǒng)。

所謂線性系統(tǒng)，即表示系統(tǒng)滿足疊加關(guān)系，如下圖所示。

所謂時(shí)不變系統(tǒng)，即滿足下列等式，如下圖所示：

即，輸入的時(shí)延會(huì)等量的反應(yīng)到輸出上。

(2)線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)

線性時(shí)不變系統(tǒng)，可以用系統(tǒng)的沖激響應(yīng)來(lái)表示，即當(dāng)輸入為沖激函數(shù)δ(t)時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。同時(shí)結(jié)合LTI系統(tǒng)所滿足的線性和時(shí)不變特性，推導(dǎo)出輸入x(t)，輸出y(t)和沖激響應(yīng)h(t)之間的關(guān)系，如下圖所示。可以看到，LTI系統(tǒng)的輸出，是其輸入與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。

對(duì)等式兩端求傅里葉變換，可以得到：

H(f)即定義為L(zhǎng)TI系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，為Y(f)和X(f)的比值，也為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)對(duì)應(yīng)的傅里葉變換，即：

同時(shí)，傳輸函數(shù)H(f)還可以分成兩部分來(lái)表示，一部分為幅度，一部分為相位，即：

(3)無(wú)失真線性時(shí)不變系統(tǒng)

對(duì)于小信號(hào)射頻鏈路而言，我們希望這個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)是無(wú)失真的，即信號(hào)通過(guò)這個(gè)系統(tǒng)時(shí)，相當(dāng)于把信號(hào)從一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上平移到另一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上，除了幅度等比例放大或縮小外，其他都不變。

無(wú)失真線性時(shí)不變系統(tǒng)，即表示既無(wú)幅度失真，也無(wú)相位失真。

所謂幅度失真，就是不同頻率處幅度的放大或縮小的比例不一致，即上圖中的K隨頻率變化。所謂相位失真，就是不同頻率處相位時(shí)延(phase delay)不一致，即上圖中的t0隨頻率變化。

而無(wú)幅度失真和無(wú)相位失真，即表示K和t0都是恒定值。

無(wú)失真線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H(f)的幅度和相位響應(yīng)，可以用下圖來(lái)表示。

(4) group delay和phase delay的定義

群時(shí)延(group delay)和相位時(shí)延(phase delay)的定義如上圖所示。

按照上面的定義，計(jì)算無(wú)失真線性時(shí)不變系統(tǒng)傳輸函數(shù)對(duì)應(yīng)的phase delay和group delay，發(fā)現(xiàn)兩者是相等的，如下圖所示。

(5)那群時(shí)延和相位時(shí)延分別是怎么影響著信號(hào)的呢？

假設(shè)輸入是一個(gè)帶包絡(luò)的窄帶調(diào)制信號(hào)，那么可以推導(dǎo)出這個(gè)信號(hào)經(jīng)過(guò)LTI系統(tǒng)后，群時(shí)延和相位時(shí)延對(duì)它的影響，如下圖所示。

(6)從頻域看看這個(gè)影響？

假設(shè)系統(tǒng)為無(wú)失真線性時(shí)不變系統(tǒng)，則τp=τg，并假設(shè)輸入信號(hào)是帶包絡(luò)的窄帶調(diào)制信號(hào)，如下圖所示。

則輸出信號(hào)的頻譜為：

在相應(yīng)的假設(shè)下，輸出信號(hào)的頻譜為：

也就是說(shuō)，group delay對(duì)應(yīng)于m(t)個(gè)頻率分量的角度旋轉(zhuǎn)，上面是假設(shè)τg是不隨頻率變化的，旋轉(zhuǎn)角度是有規(guī)律可言的；但一般濾波器的群時(shí)延，都有一個(gè)波動(dòng)，這會(huì)導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)角度沒(méi)有規(guī)律，而且基帶頻率的地方，角度旋轉(zhuǎn)的越多。不知道，這是不是寬帶信號(hào)要求群時(shí)延波動(dòng)更低的底層原因？

而phase delay則對(duì)應(yīng)于載波的角度旋轉(zhuǎn)，因?yàn)檫@邊的假設(shè)，載波的旋轉(zhuǎn)角度正好是200pi，正好是周期的整數(shù)倍，所以沒(méi)有在圖中體現(xiàn)出旋轉(zhuǎn)角度的量。

我想基帶算法部分，對(duì)固定的群時(shí)延應(yīng)該能夠糾正，但是對(duì)于群時(shí)延波動(dòng)，不知道行不行？