原文作者：Eugene Wang

本文簡單介紹了霍爾效應與反常霍爾效應的概念，引申出一種有趣的物理現象：多層石墨烯中的分數反常量子霍爾效應。

我們都知道，當一個電流通過一個導體時，如果有一個垂直于電流方向的磁場，那么導體的兩側會產生一個電壓差，這就是霍爾效應。霍爾效應的原理是，磁場會對運動的電子施加一個洛倫茲力，使電子偏離原來的軌道，從而在導體的兩側形成一個電勢差。霍爾效應的大小可以用霍爾電阻來衡量，它等于電勢差除以電流強度。

霍爾效應在普通的導體中是線性的，即霍爾電阻和磁場強度成正比。但是，在一些特殊的材料中，當磁場很強時，霍爾效應會出現非線性的行為，霍爾電阻不再隨著磁場的增加而連續變化，而是跳躍到一些固定的值，這就是量子霍爾效應。

量子霍爾效應的原理是，強磁場會使電子的能級分裂為一系列的分立的能級，稱為朗道能級。當電子填充朗道能級時，如果恰好填滿了整數個能級，那么霍爾電阻就會出現一個平臺，其值等于普朗克常數除以電子電荷的平方的整數倍，這就是整數量子霍爾效應。

如果沒有填滿整數個能級，那么霍爾電阻就會隨著磁場的變化而變化，直到遇到下一個平臺，這就是分數量子霍爾效應。這個效應是在1980年代由Tsui，Stormer和Gossard在半導體異質結中發現的，他們因此獲得了1998年的諾貝爾物理學獎。他們觀察到，在極低的溫度和極強的磁場下，霍爾電阻不僅在整數倍的位置出現了平臺，還在分數倍的位置出現了平臺。

這個現象是非常令人驚訝的，因為它意味著電子之間的相互作用在這里起了決定性的作用。根據Laughlin的理論，分數量子霍爾效應可以被理解為一種新的量子液體的形成，這種量子液體由復合費米子組成，復合費米子是由一個電子和它周圍的磁通量捆綁而成的。這些復合費米子可以形成分數統計的準粒子，也就是任意子，它們的電荷是e的分數倍，例如e/3，e/5，e/7等。這些任意子在朗道能級上形成了一個有效的整數量子霍爾效應，從而導致了分數量子霍爾效應。

分數量子霍爾效應是一個非常深刻和美麗的物理現象，它展示了量子力學和統計力學的奇妙結合，以及物質的多樣性和豐富性。然而，它的實驗觀察是非常困難的，因為它需要非常低的溫度和非常強的磁場，以及非常純凈和高質量的材料。這就限制了它的研究和應用的范圍。那么，有沒有可能在零磁場下觀察到分數量子霍爾效應呢？

這就引出了另一個概念，叫做反常霍爾效應。反常霍爾效應是指在零磁場下，某些材料也會表現出量子化的霍爾電阻，這是由于它們的拓撲性質，也就是它們的能帶結構中存在著非零的陳數。陳數是一個拓撲不變量，它描述了能帶中的波函數的相位變化，它和磁場中的磁通量有類似的作用。當一個材料具有非零的陳數時，它就會產生一個有效的磁場，從而導致了反常霍爾效應。

反常霍爾效應的一個典型的例子是石墨烯，它是一種由單層碳原子構成的二維材料，它的能帶在兩個狄拉克點處是線性的，這使得它具有非零的陳數，從而在零磁場下表現出反常霍爾效應。那么，在反常霍爾效應的基礎上，有沒有可能出現分數量子反常霍爾效應呢？這是一個長期以來的理論預言，但是一直沒有實驗的證實。直到最近，一些科學家在多層石墨烯中觀察到了這個效應。

多層石墨烯具有許多獨特的物理性質，比如高的電子遷移率，強的機械強度，和可調的能帶結構。多層石墨烯的能帶結構可以通過改變層數，堆疊方式，扭轉角度，和外加電場來調節，從而實現不同的電子態，比如金屬態，半導體態，拓撲絕緣體態，和超導態。

多層石墨烯的拓撲絕緣體態是一種具有非零陳數的能帶結構，它可以在沒有外加磁場的情況下產生反常量子霍爾效應。多層石墨烯的拓撲絕緣體態的來源是層間的自旋軌道耦合，它可以使不同層的電子的自旋和軌道相互作用，從而產生一個有效的磁場。多層石墨烯的層間自旋軌道耦合的強度可以通過改變層數和扭轉角度來調節，從而實現不同的陳數和反常量子霍爾效應平臺。

多層石墨烯中的分數反常量子霍爾效應是一種更加復雜和有趣的現象，它可以在零磁場下產生分數化的霍爾電阻和分數化的電荷激發。多層石墨烯中的分數反常量子霍爾效應的來源是層間的電子相互作用，它可以使拓撲絕緣體態的能帶進一步分裂為一些分數占據的能級，稱為分數拓撲能級。

多層石墨烯中的分數拓撲能級的存在可以通過一種稱為拓撲平帶模型的理論來解釋，它可以把多層石墨烯的能帶結構簡化為一些具有非零陳數的平坦能帶，這些平坦能帶可以容納分數朗道能級和分數化的電子相互作用，從而導致分數反常量子霍爾效應。多層石墨烯中的分數拓撲能級的存在可以通過一種稱為拓撲譜函數的實驗手段來觀測，它可以測量多層石墨烯的能帶結構和陳數的變化，從而證實分數反常量子霍爾效應的出現。

審核編輯：黃飛