** PART.0 長相離譜的張量轉置**

注：此轉置操作與 t-product 積相對應，在其他類型張量運算中的轉置操作可能有不同的定義方式，請注意區分。

簡單描述一下：

我們把三維張量每一個frontal slices(面向我們的切片)，進行轉置，然后將序號2到n的切片順序完全反過來，圖片描述如下：

假如以下為原始張量：

轉置完成后：

那么。。。為什么會有如此的操作呢，其實這都是為了之后的張量inside product做準備(不叫做內積是因為有某些性質不符合內積的定義)，和向量內積很像，張量內積也需要其中某個張量轉置之后和另一個張量做 t-product 積，既然是做 t-product 積，就要遷就于 t-product 積的某些性質。

這里再重提一下 t-product 積的定義：

** PART.1 轉置的特殊性質**

首先說明一下 squeeze 操作及 twist, 簡單一張圖就可以描述：

這都可以相等。。very amazing 啊 ，光證明出來咋能不驗證呢？

** PART.2 MATLAB實現**

我們編寫如下 MATLAB 程序(引用的子函數放到最后)：

X=zeros([2,1,3]);
X(:,:,1)=[1;2];
X(:,:,2)=[3;4];
X(:,:,3)=[5;6];

c=zeros([1,1,3]);
c(:)=[1,2,3];

squeeze(t_prod(X,c))
squeeze(X)*bcirc(t_T(c))

ans =

20    20    14

26    26    20

ans =

20    20    14

26    26    20

左右兩邊運行結果一致，非常完美，另外各個子函數如下：

t-product

function C=t_prod(A,B)
% @author:slandarer
% 用于進行張量t-product積
% A*B=fold(bcirc(A)·unfold(B))

% 獲取張量大小
[l,p,n]=size(A);dimA=[l,p,n];
[p,m,n]=size(B);dimB=[p,m,n];
dimC=[l,m,n];

if dimA(2)~=dimB(1) || dimA(3)~=dimB(3) 
    error('Inner tensor dimensions must agree.');
end

% 對A，B進行unfold展開操作
ufold_A=reshape(permute(A,[2,1,3]),dimA(2),[])';
ufold_B=reshape(permute(B,[2,1,3]),dimB(2),[])';

% 對A構建循環矩陣
bcirc_A=zeros([l*n,p*n]);
for i=1:n
    bcirc_A(:,(1:p)+(i-1)*p)=circshift(ufold_A,l*(i-1),1);
end

% bcirc(A)·unfold(B)
AB=bcirc_A*ufold_B;

% 還原張量維度
C=ipermute(reshape(AB',dimC([2,1,3])),[2,1,3]);
end

張量轉置

function AT=t_T(A)
% @author:slandarer
% 應對與張量t-product積的轉置

[l,m,n]=size(A);
AT=zeros([m,l,n]);
% fronral slices轉置
for i=1:size(A,3)
    AT(:,:,i)=A(:,:,i)';
end

% 徑向重排序
if size(A,3) >1
    AT(:,:,1:end)=AT(:,:,[1,end:-1:2]);
end
end

squeeze

function squeezeX=squeeze(X)
% @author:slandarer
% lateral slice 翻轉

if size(X,2)==1
    squeezeX=permute(X,[1,3,2]);
else
    error('MyComponent:incorrectType',...
       'Error input: nInput must be a lateral slice.')
end
end

bcirc

function bcircA=bcirc(A)
% @author:slandarer
% 用于張量展開為循環矩陣

% 獲取張量大小
[l,p,n]=size(A);dimA=[l,p,n];

% 對A進行unfold展開操作
ufold_A=reshape(permute(A,[2,1,3]),dimA(2),[])';

% 對A構建循環矩陣
bcircA=zeros([l*n,p*n]);
for i=1:n
    bcircA(:,(1:p)+(i-1)*p)=circshift(ufold_A,l*(i-1),1);
end
end