摘要：多項式回歸（Polynomial Regression）是一種回歸分析方法，通過擬合一個多項式方程來模擬自變量與因變量之間的非線性關系。多項式回歸的目標是找到一組多項式系數，使得擬合曲線盡可能地接近數據點。這種方法可以用于預測、設計和推理、其他數據分析任務。多項式回歸是一種統計學和機器學習領域常用的回歸分析方法，屬于線性回歸的一種形式，將自變量x和因變量y之間的關系建模為n次多項式。

目前求解多項式回歸問題，主要是把多項式回歸轉化成線性回歸并用最小二乘法得到損失函數，令偏導等于0來求解。另外也可以直接使用梯度下降等方法來最小化損失函數。這些優化技術的時間復雜度是多項式級別的，隨著問題規模的增長，很難在短時間找到滿意的解。

鑒于摩爾定律即將走到盡頭，就要探索非常規計算范式（如量子計算）解決大規模優化問題的適用性。量子計算機擅長解決困難的優化問題，并為加速求解問題提供了更快、更精準有效的替代方案。

在場景應用上，多項式回歸分析可用來估計功率失配問題。如孤島配電系統減載的策略用例上，精準制定負載優先級以準確估計頻率失衡問題，穩定系統頻率，高效克服配電系統因分布式發電（DG）集成而帶來的系統穩定性不足造成的停電等問題。此外，在煉鋼場景下，如將生鐵和回收廢料的混合物還原為低碳鋼，對這一過程的預測及演變能力操作員可以通過過程目標預測系統來增強。而多項式分析方法就可以從過程參數的較小子集來預測過程，對復雜預測模型實現高精確推理。

同樣，在預測農作物產量和降雨量的關系、每日用水量預測、光伏發電預測等場景下，多項式回歸分析都能高度適配。

5月16日，北京玻色量子科技有限公司（以下簡稱“玻色量子”）在新品發布會上推出的100量子比特相干光量子計算機真機——“天工量子大腦”，旨在快速、高效地求解NP-hard的Ising問題。而多項式回歸系數的擬合就可以轉化為一個Ising/QUBO模型，由“天工量子大腦”快速求解。“天工量子大腦”可以極大簡化求解步驟并在毫秒級的時間里給出較好的擬合系數取值。同時，多項式回歸是機器學習領域的基礎問題，量子計算可以在統計學和機器學習領域的其他問題發揮更好的效果。

建模思路

首先給出符號的定義：

下面是多項式回歸的原問題，其中d為多項式的次數

為了將多項式回歸問題轉換為QUBO形式，我們先將（1）式進行改寫

接著，引入一個精度向量P=[p1，p2，...，pk]T，k∈N。p中的每個項可以是2的整數次冪，冪指數可以為正也可以為負。同時，引入k個二元變量。

則每個系數w可以表示為：

式（3）可以用矩陣表示如下

式（4）帶入式（2）替換后可得

該問題本身沒有額外約束，我們已經將問題的變量進行二值化處理，式（5）即為多項式回歸的QUBO模型。

案例求解

我們以如下三次曲線為例進行多項式回歸分析，

通過在目標值y中加入符合正態分布的隨機噪聲, 生成的隨機樣本圖像如圖1所示。

圖1三次曲線隨機樣本

在本案例中，回歸系數w=[w0，w1，w2]，即

我們可以設置P=[21,20,2-1,...,2-4]，每個系數設置6個比特，共設置18個比特，求解后可以得到

所以，各個系數取值結果如下：

擬合結果如圖2所示。

圖2擬合結果

問題拓展

多項式回歸是機器學習等領域的基礎的問題，量子計算還可以在機器學習的其他問題中發揮優勢。

未來，玻色量子將依托100計算量子比特相干光量子計算機真機——“天工量子大腦”，聚焦“實用化量子計算”，不斷深入研究包括NP-Complete問題在內的眾多問題，拓展更多可實用化量子計算的真實應用場景。

玻色量子還將啟動“燎原計劃”開發者平臺，并持續對外開放“天工量子大腦”的真機測試，熱忱歡迎更多不同領域的研究伙伴前來了解相干量子計算的原理和能力，在此基礎上展開共同研發，用量子計算去解決更多真實場景中的問題，讓量子計算的超強算力能真正服務于各行各業，滿足未來時代對于計算的需求。