本文最初出現(xiàn)在The Minitab Blog

在大學(xué)里，我有一個(gè)朋友，他無論到哪兒都能融入其中。他中午還在跟一群教授共進(jìn)午餐，下午就在公園里和嬉皮士踢沙包，晚上又會(huì)和當(dāng)?shù)氐哪ν熊囼T手在城里秩序最差的酒吧廝混在一起。第二天，他又和體育愛好者一起打橄欖球，然后和游戲伙伴一起去參加通宵的局域網(wǎng)游戲聚會(huì)。在平常的周末，他可能會(huì)和校園里一小群積極正派的朋克搖滾樂手參加一場面向各個(gè)年齡段的演出，或者和一些城里人飲酒作樂，然后和物理社的朋友一起玩一些 D&D 游戲來結(jié)束這個(gè)周末。

他就像一只變色龍，跟什么人交往就能投其所好，打成一片。這種靈活性讓他在各種各樣的社交圈中如魚得水。

他叫 Jeff Weibull，他非常受歡迎，以至于當(dāng)?shù)亟y(tǒng)計(jì)人員甚至以他的名字命名“Weibull 分布”。

是什么使得 WEIBULL 分布如此受人歡迎？

好吧，我只是編造了最后一部分，Jeff 的姓實(shí)際上并不是“Weibull”，此分布完全是以其他人的名字命名的。 但是，當(dāng)我第一次了解 Weibull 分布時(shí)，我立刻想起了 Jeff，以及他似乎不費(fèi)吹灰之力就能在形形色色的社交場合中游刃有余的場景。

正如 Jeff 是不同社交圈子中的變色龍一樣，Weibull 分布能夠呈現(xiàn)許多不同類型分布的特征。這使得它在工程師和質(zhì)量從業(yè)者中極受青睞，他們使該分布成為可靠性數(shù)據(jù)建模中最常用的分布。他們喜歡將 Weibull 分布納入其數(shù)據(jù)分析中，因?yàn)樗銐蜢`活，可以對(duì)各種數(shù)據(jù)集進(jìn)行建模。

獲得了右偏斜數(shù)據(jù)？Weibull 可以對(duì)其進(jìn)行建模。左偏斜數(shù)據(jù)？當(dāng)然，使用 Weibull 絕對(duì)沒問題。對(duì)稱數(shù)據(jù)？Weibull 能夠勝任。正是因?yàn)?Weibull 分布的這種靈活性，工程師才用它來評(píng)估所有物品（從真空管、電容器到滾珠軸承和繼電器等）的可靠性和材料強(qiáng)度。

Weibull 分布還可以對(duì)遞減、遞增或固定風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)進(jìn)行建模，使其能夠描述物品壽命的任何階段。

WEIBULL 曲線如何改變其形狀

那么，Weibull 分布到底有多靈活呢？讓我們來看一些使用 Minitab Statistical Software 中的圖形 > 概率分布圖的示例。

在“分布”下拉菜單中依次選擇“單一視圖”和“Weibull”。該對(duì)話框?qū)⒂糜谥付ㄈ齻€(gè)參數(shù)：形狀、尺度和閾值。

閾值參數(shù)指示分布從 0 偏移的情況，負(fù)閾值會(huì)將分布從 0 向左偏移，正閾值會(huì)將分布向右偏移。所有數(shù)據(jù)都必須大于閾值。尺度參數(shù)是數(shù)據(jù)的 63.2 百分位數(shù)，它定義了 Weibull 曲線與閾值的關(guān)系，就像均值定義正態(tài)曲線的位置一樣。在我們的示例中，我們使用的尺度為 10，即 63.2% 的測試產(chǎn)品將在閾值時(shí)間后的前 10 個(gè)小時(shí)內(nèi)發(fā)生故障。形狀參數(shù)描述 Weibull 曲線的形狀。通過更改形狀，可以對(duì)許多不同壽命分布的特征進(jìn)行建模。

在本帖中，我將專門討論形狀參數(shù)如何影響 Weibull 曲線。我將逐一介紹這些參數(shù)，但是，如果您希望它們同時(shí)出現(xiàn)在一張圖中，請(qǐng)?jiān)谏厦骘@示的對(duì)話框中選擇“不同參數(shù)”選項(xiàng)。

形狀值小于 1 的 WEIBULL 分布

讓我們從 0 到 1 之間的形狀開始。下圖顯示概率從無窮大呈指數(shù)遞減的情況。就失效率而言，符合此分布的數(shù)據(jù)的初始失效率極高，隨著時(shí)間的推移，由于缺陷產(chǎn)品從樣本中消除，因此失效率會(huì)下降。這些早期失效通常被稱為“早期損壞率”，因?yàn)樗鼈儼l(fā)生在產(chǎn)品壽命的早期階段。

形狀值等于 1 的 WEIBULL 分布

當(dāng)形狀值等于 1 時(shí)，Weibull 分布從 1/alpha 呈指數(shù)遞減，其中 alpha = 尺度參數(shù)。在本質(zhì)上，這表示失效率隨著時(shí)間的推移保持一致。Weibull 分布的這種形狀適用于隨機(jī)失效和多原因失效，并可用于對(duì)產(chǎn)品的使用壽命進(jìn)行建模。

形狀值介于 1 和 2 之間的 WEIBULL 分布

當(dāng)形狀值介于 1 和 2 之間時(shí)，Weibull 分布迅速攀升到峰值，然后隨著時(shí)間的推移下降。失效率總體上是增加的，最初增加得最快。此形狀表示早期磨損失效。

形狀值等于 2 的 WEIBULL 分布

當(dāng)形狀值達(dá)到 2 時(shí)，Weibull 分布對(duì)線性增加的失效率進(jìn)行建模，在產(chǎn)品的使用壽命內(nèi)，磨損失效風(fēng)險(xiǎn)隨著時(shí)間的推移不斷增加。這種形式的 Weibull 分布也稱為 Rayleigh 分布。

形狀值介于 3 和 4 之間的 WEIBULL 分布

如果我們將形狀值放在 3 和 4 之間，Weibull 分布就會(huì)變?yōu)閷?duì)稱的鐘形，就像正態(tài)曲線一樣。這種形式的 Weibull 分布對(duì)產(chǎn)品壽命的最后階段（大多數(shù)失效發(fā)生在這一階段）中的快速磨損失效進(jìn)行建模。

形狀值大于 10 的 WEIBULL 分布

當(dāng)形狀值大于 10 時(shí)，Weibull 分布類似于極值分布。同樣，這種形式的分布可以對(duì)產(chǎn)品壽命的最后階段進(jìn)行建模。

WEIBULL 永遠(yuǎn)是最佳選擇嗎？

涉及可靠性時(shí)，Weibull 分布通常是萬能分布，但一定要注意的是，其他分布系列也可以對(duì)各種分布形狀進(jìn)行建模。您希望找到最適合您的數(shù)據(jù)的分布，而這可能不是 Weibull 分布形式。例如，由化學(xué)反應(yīng)或腐蝕引起的產(chǎn)品失效通常采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行建模。

您可以使用 Minitab 的分布 ID 圖來評(píng)估數(shù)據(jù)的擬合情況（統(tǒng)計(jì) > 可靠性/生存 > 分布分析(右刪失或任意刪失)）。如果您想了解更多詳細(xì)信息，請(qǐng)查看 Jim Frost 撰寫的有關(guān)確定數(shù)據(jù)分布的帖子。

審核編輯 黃昊宇