傅里葉變換的提出讓人們看問題的角度從時域變成了頻域，多了一個維度。快速傅里葉變換算法的提出普及了傅里葉變換在工程領域的應用，在科學計算和數字信號處理等領域，離散傅里葉變換（DFT）至今依然是非常有效的工具之一。

1. 傅里葉變換

傅里葉變換的物理意義是把時域復雜的信號在頻譜中分解出來，時域無法確定信號有哪些頻率，但是在頻域上看就非常清晰。

比如下圖，信號y含有0.9v@25Hz、0.4V@250Hz、0.6V@412Hz的三種頻率成分，在時域單單看波形的話就比較難區分出這三種頻率。

y = 0.9*sin（2*pi*25*t） + 0.4*sin（2*pi*250*t） + 0.6*sin（2*pi*412*t）;

但是經過傅里葉變換以后，在頻域看，就非常清晰了。三種信號頻率以及幅值躍然紙上。

可以得到原始matlab代碼

傅里葉變換在我們工程應用中的地位永垂不朽，本文舉例介紹下FFT與PWM的應用。

2. PWM信號

PWM是脈沖寬度調制的意思，占空比D是高電平持續的時間/周期，占空比越小，PWM信號越窄；反之，PWM信號就越寬。

對于上面幅度為1V，1Khz，占空比為10%的PWM波形，進行傅里葉變換后，可以看到在直流處的電壓幅值為0.0996V，在1Khz處的幅值為0.196V，在2Khz。。。。。以此類推，入下圖所示，PWM信號是由無數個不同頻率的正弦信號組成的，這是FFT給我們的結論。

我們增加PWM的占空比到50%，也就是變成方波信號，傅里葉變換如下，直流幅值增加到0.5V，1Khz幅值增加到0.637V，可見相比于10%占空比，低頻信號幅值增加。

我們繼續增加占空比到90%，低頻直流成分繼續增加，接近0.9V。

讓我們連續的看下隨著PWM占空比的增加，直流成分也逐漸增加的過程，紅線波形是輸入的PWM信號，藍色波形是濾波后的信號，以低頻為主。

畫出DC直流幅值隨占空比的變化如下，可以明顯看到占空比越高，直流幅值就越多。

PWM不同占空比，在頻率上會有不同的頻率信息，我們可以把我們的信息調制到PWM信號的脈寬上，這就是PWM調制的基本原理。

3. FFT與PWM的應用

那么這有什么用呢？利用FFT的原理，在PWM信號后面加一個低通濾波器，我們就可以通過調制PWM信號的占空比，來產生我們想要的不同幅值的直流信號。

比如使用10Ω電阻、470uF電容構成截止頻率為33.88Hz的低通濾波器。

在占空比為10%時，其輸出是100mV的接近直流的信號，與前面分析結果一致。

占空比增加到50%時，其輸出是500mV的直流，與前面分析結果一致。

占空比增加到90%時，其輸出是900mV的直流，與前面分析結果一致。

我們就是這樣，通過調制PWM的占空比，進而得到我們想要的不同幅值的直流信號，本文只以一階低通為例，如果階數高一些，濾波效果會更好。這個原理就是FFT，PWM信號具有不同頻率成分，其直流幅值也不同，通過低通濾波器后，抑制掉其中的高頻成分，就剩下不同幅值的直流了。