在本篇文章中，我們會展開一個適用于采用相控陣前端的雷達和無線系統應用的主題。 內容涵蓋：

如何在相控陣設計中應用優化技術。

什么是二次規劃？

在設計過程中采用優化解算器。

當設計大型相控陣系統時，這種優化工作流程可以節省大量時間，因為此過程會涉及很多設計參數，包括單個天線單元的位置和應用到每個天線單元的權重。因此，當從事電磁解算器層級的物理陣列設計工作以及系統層級陣列設計工作時，可以采用這些優化技術。

本文專注于系統級應用，同時我們在文章末尾提供了一個鏈接，通過其可以獲取有關電磁解算器級應用的更多資源。

與單天線天線單元相比，相控陣的一個主要優點是可以形成一個波束（或多個波束），以增強所需的信號并降低干擾信號的影響。

通常，在合成一種方向圖時，N 天線單元相控陣可提供 N 個自由度。這意味著可以調整N個權值，每個天線單元一個權值，以控制波束形狀，從而滿足一些預定義的約束。

正如在這篇博客（https://www.mwrf.com/technologies/systems/article/21849359/algorithms-to-antenna-synthesizing-an-antenna-array-with-optimization-techniques）中所述，可以采用各種技術來實現方向圖合成，包括調零、加窗和稀布(Thinning)。應用優化技術有助于消除方向圖合成時的“反復試錯”過程。

許多常用的波束形成技術都可以表示為優化問題。例如，最小方差無失真響應（MVDR）波束形成器用于最大限度減小總噪聲輸出，同時保留給定方向的信號。我們之前在另一篇博客中介紹了此類波束形成器，但在數學上，通過解決優化問題即可得到MVDR波束形成權值。

在本文中，我們省略了數學運算，但是一個 N 天線單元陣列能夠處理 N?1 個約束。MVDR 波束形成器可以進行擴展，以包含更多約束，從而成為線性約束最小方差（LCMV）波束形成器。LCMV 波束形成器中的附加約束常用于消除給定方向的干擾。

這些技術適用于任何陣列結構，但我們考慮一個包含 32 個天線單元、天線單元之間具有半波長間距的均勻線性陣列。我們可以采用 LCMV 方法執行陣列合成。我們的相關信號位于0度方位，干擾源位于 -70 度、-40 度和 -20 度方位。噪聲功率假定比信號低 40 dB。圖 1 顯示了我們的方向圖結果。此波束形成器可有效消除垂直虛線圖中所示方向的噪聲源。

1.LCMV波束形成器用于消除干擾源。（2021 The MathWorks, Inc.）

MVDR 和 LCMV 算法的一個共同點是只處理等式約束。但是，方向圖合成的另一常見要求是確保陣列響應一組給定的角度范圍內低于某一閾值。例如，我們可以將以下要求添加到所需方向圖中：

1. 在 ?30 和 ?10 度方位之間，旁瓣應低于 ?40 dB。

2. 在主瓣以外的任何地方，旁瓣應低于 ?20 dB。

圖 2 闡述了我們將嘗試實現的系統所需的方向圖要求。

2.圖示為陣列方向圖的所需特性。（2021 The MathWorks, Inc.）

MVDR 和 LCMV 算法無法再用于解決此類問題，因此我們想介紹另一種涉及優化解算器的技術。

優化解算器用于最小化給定約束集下的目標函數。基于目標函數和約束條件，一些優化解算器比其他解算器更有效。因此，選擇適合應用的優化解算器非常重要。

在本文中，由于目標函數旨在最大限度減小功率，所以很自然地將其視為二次規劃（QP）問題。例如，可以使用優化工具箱中（https://www.mathworks.com/products/optimization.html）的 quadprog 函數。

盡管 QP 解算器似乎很適合我們的方向圖合成問題，但是將陣列合成問題轉化為 QP 公式并不簡單。這是因為解算器通常處理實數，而陣列方向圖計算會涉及復數。我們需要首先將復數運算轉化為實數運算，形成目標函數和約束的實部和虛部，然后確立二次規劃并使用解算器。

圖 3 所示為使用合成權值產生的方向圖。請注意重疊的虛線部分，這就是我們的所需要求。?70、?40 和?20 度方位均為零，并實現了新的旁瓣水平。

3.此合成方向圖采用二次規劃優化技術，滿足了所需要求。（2021 The MathWorks, Inc.）

二次規劃可以完成此項工作。但是，為了將復數約束轉化為實數約束，我們不得不分別考慮實部和虛部，而在理論上，我們只需要確保兩者的范數滿足不等式。因此，在QP公式中，我們對波束方向圖的實部和虛部采用更嚴格的約束。

另一種優化解算器稱為二階錐規劃（SOCP），具有以范數形式定義的約束。此解算器可為解決我們的問題提供另一種可行的選擇。

此外，由于我們方向圖合成問題中的約束更自然地與 SOCP 公式相匹配，所以我們預計采用 SOCP 獲得的結果可能優于通過QP獲得的結果。

但是，即使 SOCP 問題的目標函數是線性函數而不是范數，也可以將包含范數的原目標函數轉化為附加的二階錐約束。然后，可以利用 SOCP 解決我們的最小方差方向圖合成問題。

圖 4 展示了采用優化工具箱中的 coneprog 函數實現的方向圖。將此結果與通過 QP 得到的方向圖進行比較，我們可以看到，SOCP 解算器達到了更低的旁瓣水平。

4.在這里，合成方向圖采用二次規劃優化技術，滿足了所需要求，并與SOCP相比。（2021 The MathWorks, Inc.）您可以采用相控陣系統工具箱、天線工具箱和優化工具箱設計系統中的陣列。相控陣系統工具箱 https://www.mathworks.com/products/phased-array.html 天線工具箱 https://www.mathworks.com/products/antenna.html 優化工具箱 https://www.mathworks.com/products/optimization.html

審核編輯 ：李倩