相控陣天線方向圖——第一部分：線陣波束特性和陣列因子

隨著數字相控陣在商業、航空航天和國防領域的廣泛應用，許多從事相控陣天線設計各個方面的工程師對相控陣天線的了解卻十分有限。相控陣天線設計并非新生事物，其理論已發展數十年；然而，大多數文獻都面向精通電磁數學的天線工程師。隨著相控陣開始融入更多混合信號和數字技術，許多工程師將受益于對相控陣天線方向圖更直觀的解釋。事實上，相控陣天線的行為與混合信號和數字工程師日常使用的離散時間采樣系統之間存在諸多相似之處。

這些文章的目的不是為了培養天線設計工程師，而是為了幫助從事相控陣子系統或組件設計的工程師，讓他們能夠直觀地了解自己的工作可能會對相控陣天線方向圖產生怎樣的影響。

波束方向

首先，我們來看一個直觀的相控陣波束控制示例。圖 1 展示了一個簡單的示意圖，其中波前從兩個不同方向照射到四個天線單元。在每個天線單元之后，接收路徑中都施加了一個時間延遲，然后將所有四個信號疊加在一起。在圖 1a 中，該時間延遲與波前照射到每個單元的時間差相匹配。在這種情況下，施加的延遲使得四個信號在組合點處相位一致。這種相干組合使得組合器的輸出信號更強。在圖 1b 中，施加了相同的延遲；然而，在這種情況下，波前垂直于天線單元。施加的延遲現在導致四個信號的相位錯位，組合器的輸出信號顯著降低。

在相控陣中，時間延遲是實現波束控制所需的量化參數。但時間延遲也可以用相移來模擬，這在許多實際應用中都很常見且實用。我們將在波束斜視部分討論時間延遲和相移的影響，但現在我們先來看一個相移實現方案，然后推導使用該相移進行波束控制的計算方法。

圖 2 展示了這種使用移相器而非時延器的相控陣布置。請注意，我們將指向軸方向（θ = 0o）定義為垂直于天線表面的方向。指向軸方向右側為正角 θ，左側為負角 θ。

為了可視化波束控制所需的相移，可以在相鄰元素之間繪制一組直角三角形，如圖 3 所示。其中 ΔΦ 是這些相鄰元素之間的相移。

圖 3a 定義了這些元素之間的三角關系，每個元素之間相隔一個距離 (d)。波束指向偏離視軸方向 θ 的方向，該方向與地平線成 φ 角。在圖 3b 中，我們可以看到 θ + φ = 90 ° 。這使得我們可以計算波傳播距離 ΔL，即 L = dsin(θ)。波束轉向所需的時間延遲等于波前傳播該距離 L 所需的時間。如果我們把 L 看作波長的一部分，那么可以用相位延遲來代替該時間延遲。然后，ΔΦ 的方程可以相對于 θ 定義，如圖 3c 所示，并在公式 1 中重復。

如果元件之間的間距恰好是信號波長的一半，那么可以進一步簡化為：

讓我們用這些方程式舉個例子。考慮兩個相距 15 毫米的天線單元。如果一個 10.6 GHz 的波前以 30o 的角度偏離機械軸線入射，那么這兩個單元之間的最佳相位差是多少？

·θ = 30o = 0.52 弧度

·λ = c/f = (3 × 10? m /s)/10.6 GHz = 0.0283 m

·ΔΦ = (2π × d × sinθ)/λ = 2π × 0.015 × sin(0.52)/0.0283 m = 1.67 rad = 95°

因此，如果我們的波前到達角度為θ = 30o，那么如果我們將相鄰單元的相位偏移95o，就會使兩個單元的信號相干疊加。這將使該方向上的天線增益最大化。

為了更好地理解相移如何隨波束方向 (θ) 變化，圖 4 繪制了這些方程在不同條件下的曲線。從這些圖中可以得出一些有趣的觀察結果。當 d = λ/2 時，在波束指向附近存在一個近似 3:1 的斜率，這正是方程 2 中的 π 乘數。這種情況還表明，單元間 180° 的完整偏移理論上會導致波束方向 90° 的偏移。實際上，對于實際的單元方向圖，這無法實現，但這些方程確實展現了理論上的理想情況。需要注意的是，當 d > λ/2 時，任何相移都無法實現完整的波束偏移。稍后我們將看到，這種情況會導致天線方向圖中出現柵瓣，而該圖初步表明 d > λ/2 的情況有所不同。

均勻間隔線性陣列

上述方程僅適用于兩個單元的情況。然而，實際的相控陣列可能包含數千個分布在二維空間中的單元。但就本文而言，我們只考慮一維情況：即線性陣列。

線性陣列是指寬度為1、橫向包含N個單元的陣列。單元間距可以變化，但通常是均勻的。因此，本文中，我們將每個單元之間的間距設置為均勻距離d（圖5）。盡管這種均勻間距的線性陣列模型較為簡化，但它為理解天線方向圖在各種條件下的形成提供了基礎。我們還可以進一步應用線性陣列的原理來理解二維陣列。

近場與遠場

那么，我們如何將之前為 N = 2 線性陣列建立的方程應用于 N = 10,000 線性陣列呢？目前看來，每個天線單元指向球面波前的角度都略有不同，如圖 6 所示。

當射頻源靠近天線時，每個單元的入射角都會有所不同。這種情況稱為近場。我們可以計算出所有這些角度，有時我們需要這樣做來進行天線測試和校準，因為我們的測試裝置規模有限。但是，如果我們假設射頻源遠離天線，那么就會得到圖 7 所示的情況。

由于射頻源距離較遠，球面波前的半徑較大，導致波的傳播路徑近似平行。因此，所有波束角均相等，且每個相鄰單元的路徑長度比其相鄰單元長 L = d × sinθ。這簡化了計算，意味著我們推導出的兩個單元方程可以應用于數千個單元，前提是它們之間的間距均勻。

但我們何時才能做出遠場假設？遠場究竟有多遠？這有點主觀，但一般來說，遠場是指大于以下范圍的任何距離：

其中 D 為天線直徑（對于我們的均勻線性陣列，D 為 (N-1) × d）。

對于小型陣列（小D值）或低頻（大λ值），遠場距離較短。但對于大型陣列（或高頻），遠場距離可能達到數公里！這使得陣列的測試和校準變得十分困難。在這種情況下，可以使用更精細的近場模型，然后將其與陣列在實際應用中的遠場情況進行關聯。

天線增益、方向性和孔徑

在深入探討之前，有必要先定義一下天線增益、方向性和孔徑。首先，我們來澄清一下增益和方向性的區別，因為兩者經常被混淆。天線增益和方向性是相對于各向同性天線而言的——各向同性天線是一種理想天線，它向各個方向均勻輻射。方向性是指在特定方向上測得的最大功率P max 與所有方向輻射的平均功率P av 之間的比較。如果沒有指定方向，則方向性由公式 4 計算得出。

方向性是比較天線性能時的一個重要指標，因為它定義了天線集中輻射能量的能力。增益與方向性具有相同的特性，但增益包含了天線的損耗。

P rad是輻射的總功率，P in是輸入到天線的功率，k表示天線輻射過程中的損耗。

接下來，我們考慮天線方向圖作為三維方向的函數，以及方向性作為波束寬度的函數。

球體的總表面積為 4π2 ，球體面積的單位是球面度，一個球體包含 4π 個球面度。因此，各向同性輻射器的功率密度為

單位為（W/m 2）。

球面上的一個區域有兩個角度方向。在雷達系統中，這些方向通常被稱為方位角和仰角。波束寬度可以表示為每個角度方向的函數，分別記為θ1和θ2 ：它們的組合在球面上形成一個面積為ΩA的區域。

Ω A是以球面度為單位的波束寬度，可以近似為 Ω A ≈ θ 1 × θ 2。

將 Ω A視為球面上的一個面積，則方向性可以表示為

我們要討論的第三個天線術語是孔徑。天線孔徑表示接收電磁波的有效面積，并且包含一個與波長相關的函數。各向同性天線的孔徑為

增益是相對于各向同性輻射的，它決定了天線的有效孔徑。

將這三個術語放在一起，我們可以看出增益可以被視為角度的函數，它定義了輻射方向圖，并解釋了天線的效率（或損耗）。

線性陣列的陣列因子

至此，我們能夠預測各單元間實現最大天線方向性的最佳時間（或相位）差。但我們更希望了解并操控完整的天線增益方向圖。這主要包含兩個方面。首先是陣列中每個單元（或許是一個貼片）的增益，稱為單元因子（GE ）。其次，我們可以通過波束成形對陣列施加影響，稱為陣列因子（GA ）。完整的陣列天線增益方向圖是這兩個因子的組合，如公式10所示。

單元因子GE是陣列中單個單元的輻射方向圖。它由天線的幾何形狀和結構決定，在實際操作中無法改變。了解單元因子非常重要，因為它會限制整個陣列的增益，尤其是在地平線附近。但由于我們無法對其進行電氣控制，因此將其作為固定影響因素納入相控陣總增益方程。在本文中，我們假設所有單元的單元因子都相同。

因此，本文的重點在于陣列因子 G A。陣列因子基于陣列幾何形狀（對于我們的均勻線性陣列，即 d）和波束權重（幅度和相位）計算得出。推導均勻線性陣列的陣列因子很簡單，但具體細節最好參考本文末尾列出的參考文獻。

文獻中使用的方程存在一些差異，這取決于線性陣列中參數的定義方式。我們采用本文中的方程，這與圖 2 和圖 3 中的定義保持一致。由于我們主要關注增益的變化，因此繪制歸一化陣列因子相對于單位增益的曲線通常更有意義。該歸一化陣列因子可表示為方程 11。

我們已經將波束角 θ 0定義為元件間相移 ΔΦ 的函數；因此，我們也可以將歸一化天線因子寫成公式 12。

陣列因子方程中假設的條件包括：

·各元素間距相等。

·各元素之間存在相等的相位差。

·各個元素的振幅都相等。

接下來，利用這些方程，我們繪制出幾種不同數組大小的數組因子。

根據這些數據可以得出一些結論：

·第一旁瓣增益始終為 -13 dBc，與陣列單元數量無關。這是由于陣列因子方程中使用了 sinc 函數所致。可以通過對各單元增益進行漸變來改善旁瓣，這將在本系列的后續章節中討論。

·波束寬度隨單元數量的增加而減小。

·當波束偏離軸線掃描時，波束寬度會變寬。

·隨著元素數量的增加，空值的數量也會增加。

波束寬度

波束寬度是衡量天線角度分辨率的指標。最常見的波束寬度定義是半功率波束寬度 (HPBW) 或主瓣零點間距 (FNBW)。為了找到 HPBW，我們從峰值向下移動 3 dB 并測量角度距離，如圖 12 所示。

利用歸一化陣列因子方程，我們可以通過將公式 3 設置為半功率電平（3 dB 或 1/√2）來求解該半功率波束寬度 (HPBW)。我們將假設機械視軸（θ = 0o），N = 8，且 d = λ/2。

然后解得 ?Φ 為 0.35 rad。使用公式 1，解得 θ：

該θ值是峰值到3 dB點的距離，也就是我們半功率波束寬度（HPBW）的一半。因此，我們只需將其乘以2即可得到3 dB點之間的角度距離。由此得出HPBW為12.8o。

我們可以重復此操作，使陣列因子等于 0，并得到前面提到的條件下的第一個零位到零位間距角 FNBW = 28.5o。

對于均勻線性陣列，HPBW [1,2] 的近似值由公式 15 給出。

圖 13 繪制了在 λ/2 單元間距條件下，不同單元數的波束寬度與波束角度的關系圖。

從這張圖中，我們可以觀察到一些與行業內正在開發的陣列尺寸相關的現象。

·1°的波束精度需要100個陣元。如果方位角和俯仰角都需要達到1°的精度，則需要一個包含10000個陣元的陣列。1°的精度僅在近乎理想的條件下才能在波束指向方向上實現。要在實際部署的陣列中，在各種掃描角度下保持1°的精度，則需要進一步增加陣元數量。這一觀察結果為超大型陣列的波束寬度設定了一個實際的極限。

·行業內常用的陣列是1000單元陣列。每個方向32個單元，單元總數為1024個，在瞄準線附近可實現小于4°的波束精度。

·一個可低成本批量生產的256單元陣列，其波束指向精度仍可小于10°。這對于許多應用來說完全可以接受。

·另請注意，對于上述所有情況，波束寬度在偏移 60° 時都會加倍。這是由于分母中的 cosθ 造成的，是由于陣列的透視縮短效應；也就是說，從某個角度觀察時，陣列的橫截面看起來更小。

元素和數組因子的結合

上一節僅考慮了陣列因子。但要計算天線總增益，我們還需要單元因子。圖 14 給出了一個示例。在本例中，我們使用簡單的余弦函數作為單元因子，或歸一化單元增益 G E (θ)。余弦滾降在相控陣分析中很常見，如果考慮平面，則可以直觀地理解。在垂直于天線方向時，可見面積最大。隨著角度偏離垂直于天線方向，可見面積按余弦函數遞減。

陣列因子 G A (θ) 用于 16 單元線性陣列，單元間距為 λ/2，且具有均勻輻射方向圖。總方向圖是單元因子和陣列因子的線性乘積，因此在 dB尺度上，它們可以相加。

波束偏離瞄準線時的一些觀察結果：

·主波束振幅以元件因子的速率衰減。

·波束指向方向上的旁瓣沒有幅度損失。

·結果是，偏離視線方向時，整個陣列的旁瓣性能下降。

天線圖：笛卡爾坐標系與極坐標系

到目前為止，我們使用的天線方向圖都是采用笛卡爾坐標系繪制的。但通常情況下，天線方向圖會采用極坐標系繪制，因為極坐標系更能代表天線向外輻射的空間能量分布。圖 15 是圖 12 的極坐標重繪版本。請注意，數據完全相同，逐點一致——只是使用了極坐標系重新繪制。能夠以兩種坐標系可視化天線方向圖是有價值的，因為文獻中都使用了這兩種坐標系。本文大部分內容將使用笛卡爾坐標系，因為在這種坐標系下更容易比較波束寬度和旁瓣性能。

陣列互易性

到目前為止，所有的圖表和文字都描述了陣列接收的信號。但對于發射陣列來說，情況又會如何變化呢？幸運的是，大多數天線陣列都是互易的。因此，發射和接收的所有圖表、公式和術語都是相同的。有時，將波束視為陣列接收信號更容易理解。而有時，例如在柵瓣的情況下，將陣列視為發射波束可能更直觀。在本文中，我們通常將陣列描述為接收信號。但如果您覺得難以想象，也可以同樣地從發射的角度來思考相同的概念。

本系列文章第一部分到此結束。