什么是振動？簡單的說，就是某個物理量的值隨時間周期變化的現象。

振動的物理量隨時間周期變化的曲線叫振動曲線，例如（仔細看，周期是存在的哦）

最常見的振動是機械振動，隨時間周期變化的那個物理量是位置。質點的位置是一個時間的函數，對于一般的運動來說，它就是一個矢量函數，即

它也被稱作運動方程。對于機械振動來說，由于位置是周期性變化的，運動方程應該是一個時間的周期函數。

機械振動非常直觀，但它并非振動的全部，廣義的振動可以是任何物理量隨時間的周期變化。

例如，一天中，早上溫度最低，隨著太陽升起，溫度逐漸上升，到下午2點左右，溫度達到最高，然后開始降低，直到第二天早上達到最低，如此反復。

更簡單的例子，擺動的吊燈，相對于豎直線的偏離角度，隨時間來回往復的變化。類似的，一個持續擺動的牛頓擺也是如此。

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幾個振動的例子

下面來仔細看幾個振動的例子。

一個球豎直上拋后落下，與地面彈性碰撞后彈起，再落下又彈起，這個過程就是一個典型的振動過程。以上拋點為原點，向上為軸，則其振動曲線如下，它由一段段完全相同的拋物線拼接而成。

溫馨提示：由于實際的機械振動曲線中，不可能出現速度不存在的點——例如圖中那些導數不存在的地方。所以，這里列舉的幾個振動只是理論上的振動曲線，作為機械振動是不可能真實存在的。

設上圖中每一段拋物線的寬度為，高為。你能寫出描述該振動的函數嗎？看起來很難，因為它不是一個普通的周期函數，不信你可以試試。

太復雜？那就來個更簡單點的吧，看下面的振動曲線，某個物理量隨時間變化如下

曲線中的三角形都是全等正三角形，邊長為。是不是仍然無法寫出它的函數？

的確，除非你借助那些特殊的函數，例如對內的部分，可表示為

溫馨提示：這里面的和圍起來是floor函數的符號，它是用來取整的。

否則，你還真沒辦法寫出它的表達式。

再看一種更簡單的振動曲線，某物理量隨時間變化如下

設曲線的每一段長度都為。你能寫出這個函數嗎？

再次抱歉，你同樣寫不出來！除非你借助符號函數將其寫成

溫馨提示：的定義為：稱作符號函數。

看到了吧，那些看起來很直觀的振動，其運動方程卻都如此復雜！

看來，從數學上講，這幾個振動都不太好對付啊。

那么，有沒有簡單一點的振動呢？

02

勻速圓周運動與簡諧振動

仔細想一下，什么樣的振動可能是最簡單的振動呢？

別忘了，振動的一般定義是物理量隨時間周期變化的運動，不要總想著沿一個維度左右、上下來回的運動，思路放開一點嘛！

繞著一個閉合路徑做周期運動算不算振動？當然算！

矮油！這么一提示，頓時就想到了，它不就是勻速圓周運動嘛！

沒錯，我相信大多數人認為非它莫屬！是啊，還有什么周期運動有勻速圓周運動這般簡單和諧？！

設勻速圓周運動的角速度為，則每隔的時間，質點重回原位。運動具有周期性，所以圓周運動的確是振動！一種極為特殊的振動！

既然勻速圓周運動如此簡單，那么它的運動方程是什么呢？

設其圓周的半徑為，角速度為，設零時刻，它相對軸的正向已轉過了角，則運動方程為：

搞半天，就只有勻速圓周運動能用一個比較簡單的周期函數表示。

那么，勻速圓周運動的振動方程意味著什么呢？

看看它所包含的東東——正弦和余弦函數！

物理上定義，位置隨時間按照正弦或余弦函數變化的振動叫做簡諧振動。其運動方程可表示為或例如彈簧振子的振動和單擺的小角度擺動都呈現這種形式。

沒錯，勻速圓周運動本身就是由兩個垂直的簡諧振動合成得到的，正因為它的兩個分振動分別由正弦和余弦函數描述，所以勻速圓周運動也是周期運動！

現在你知道了，勻速圓周運動不是最簡單的振動！因為它包含兩個更基本的振動。

如下圖所示，可以看到，勻速圓周運動沿著圓的任一條直徑上的分運動就是一個簡諧振動。

受此啟發，設一個長度固定的矢量繞起點以角速度沿逆時針勻速轉動，它的箭頭在某條直徑上的投影的運動是一個簡諧振動。換句話說，任何一個簡諧振動的背后總對應著一個旋轉矢量，如下圖

但實際上，簡諧振動才是構成勻速圓周運動的基本元素，而不是相反。只不過對大多數人來說，勻速圓周運動更易于理解，所以借助“旋轉矢量”，簡諧振動看起來更直觀。

03

正弦和余弦：最基本的周期函數

如此看來，只要用數學中的周期函數，或周期函數的組合，來構建運動方程，那么不就可以得到各種各樣的振動嗎？

那么，除了正弦和余弦，還有哪些周期函數呢？

周期函數，這么重要的一類函數，應該很多吧？

趕緊翻數學手冊！

然而，結果有點令人意外！

除了正弦和余弦函數之外，要不就是一些由它倆構造的周期函數，比如tan、ctan和sec等等；要不就是一些不光滑的周期函數——就像我前面列舉的三角和方形函數，它們根本無法代表真實的運動。

換句話說，正弦和余弦函數就是唯二的倆周期函數！

難怪啊難怪，難怪一般的周期運動都如此復雜，因為根本不存在簡單的周期函數能夠描述它們；難怪勻速圓周運動如此簡單！原來是因為它所包含的兩個振動成分是如此純粹！

呃，這個發現簡直太厲害了！

到此，你可能隱隱的感覺到：或許一切周期函數之所以能成為周期函數，本質上都歸結于正弦和余弦函數？

事實的確如此！周期函數之所以是周期函數，一切皆因正弦和余弦函數這對孿生兄弟！誰叫他倆是僅有的兩個“原創型”的光滑周期函數呢？

數學上可以證明，一個周期函數總可以通過若干個正弦和余弦函數組合來得到，即這就是傅里葉級數，其中系數(含)和為

舉個例子，下面這個函數的圖像看起來很復雜吧？

但實際上，此函數由三個余弦函數加起來得到，具體表達式是：你可用Matlab或者隨便一個在線繪圖工具來驗證一下。

講到這里意識到，之所以任意周期函數都能用正弦和余弦函數的組合來表示，這不是因為他哥倆多厲害，純粹是因為物以稀為貴——只有他倆是最簡單的周期函數。

換句話說，只有他倆才擁有周期的創始基因，但凡其他周期函數者，皆因他倆而起也，皆繼承于他倆，由他倆組合而得。

04

簡諧振動：最簡單的振動

既然一般的周期函數可看作由正弦和余弦函數組合而成，那么相應的，任何一個一般的振動總可以看作是若干個正弦和余弦函數所表示的振動的合成。

不錯，正弦和余弦函數是周期函數的基本元素，它們所描述的振動是最基本、最簡單的振動！

例如，除勻速圓周運動之外，周期的橢圓運動也是由相互垂直的兩個簡諧振動合成得到。

而任意周期運動，總可由若干個簡諧振動合成得到。例如，下面這種振動（藍色線）可看作是由多個頻率不同的簡諧振動合成的，所采用的簡諧振動越多，合成的振動越接近藍色線代表的振動。

所以，正弦或余弦函數所描述的振動可看作是振動的基本成分。之所以被稱作簡諧振動，“簡”字正是強調它是自然界中最簡單的振動。而“諧”字的意思是，振動一直持續下去，強調其能量不會耗散。

更廣泛的，非周期的函數可以看作是周期無限大的函數，它們也可以看作是正弦和余弦通過加權函數的組合，這就是傅里葉變換，它是傅里葉級數的推廣。據此，即使非周期運動，形式上也可看作是由簡諧振動合成的。

因此，正弦和余弦函數也可看作構成一切函數的基本元素，由他們描述的振動——簡諧振動，是構成一切運動的基本單元。

審核編輯 ：李倩