量子網絡中，傳遞信息的基本單位——量子比特 （qubit）——可以以一定的方式相互糾纏在一起。這種量子糾纏是實現量子計算的必需資源。然而，當兩個量子比特被分隔開很長距離時，量子糾纏會格外脆弱。幸運的是，人們可以設計一種方案，通過鏈路路由和中繼器，間接地使兩個長距離的量子比特成功糾纏在一起。

這種間接式方案被稱作為糾纏傳輸 （entanglement transmission），是量子網絡具有的重要優勢之一。但如果網絡中每條鏈路自身的傳輸能力（“糾纏度”）過低，那長距離的量子傳輸就無法實現。這種長距離量子傳輸成功與否對于鏈路自身能力的依賴性，實際上可以映射為一種統計物理理論，即經典滲流理論 （classical percolation theory）。

理論預測：每條鏈路自身傳輸能力只有高于某個閾值，才能實現無窮大量子網絡中的長距離量子傳輸。然而人們發現，在某些特殊拓撲結構（比如蜂窩形）的網絡中，即使每條鏈路自身能力低于閾值，也能實現量子傳輸。這說明經典滲流理論并不足以解釋量子網絡真正的統計性質。

在此背景下，波士頓大學Xiangyi Meng （孟祥一）， 倫斯勒理工Jianxi Gao （高建喜）， 與巴伊蘭大學Shlomo Havlin三名研究者通過對任意拓撲結構量子網絡的研究，提出了一種通粹滲流理論 （concurrence percolation theory）。

該理論與經典滲流類似，但并非建立在概率測度之上，而是建立于一種叫做通粹糾纏度 （concurrence） 的量子糾纏測度。研究者類比于電阻網絡的串并聯規律，顯式寫出了通粹滲流理論的連通規則，并預測了常見拓撲結構的量子網絡的新的滲流閾值。研究發現，新的閾值顯著低于經典滲流理論的預測。同時，研究者給出了任意串并聯結構網絡下實現新閾值的局域操作與通信方案，支持了理論預測。

這項工作的創新點在于將大尺度的量子網絡糾纏傳輸問題映射為了一種新的統計理論。這種映射極大簡化了刻畫大尺度量子糾纏的方式，使糾纏傳輸問題化簡成為了一個經典復雜網絡中的鏈路連通問題。該工作以“Concurrence Percolation in Quantum Networks”為題于近日發表在國際物理學期刊Physical Review Letters.

如圖1所示，A與B之間糾纏傳輸的成功與否實際上取決于每條鏈路的自身傳輸能力。如果每條鏈路可以寫作一個二體糾纏純態：

那么存在測度：

代表了將該二體糾纏純態轉化為最大糾纏純態（單重態）的概率。同時，該概率可以被理解為鏈路“開啟”的概率。若網絡無窮大，可想而知，只有當每條鏈路“開啟”的概率大于某一閾值，才能統計上保證量子網絡任意兩點間至少有一條完全“開啟”的通路，從而實現糾纏傳輸。

如上思路實際上是一種對經典滲流理論的典型映射。然而，該思路的局限性在于，每條鏈路不一定需要預先被轉化為單重態，亦即不需要成為完全“開啟”的狀態。

研究發現，即使鏈路保持在介于“開啟”與“關閉”之間（即部分糾纏態），利用可規模化的“確定性 （deterministic） 量子通訊協議”——包括量子糾纏交換協議 （quantum entanglement swapping） 與量子提純協議 （quantum distillation），無窮大量子網絡的任意兩點間仍然可以實現糾纏傳輸。通過分析確定性量子通訊協議的具體表達式，可以得到一種新的映射，建立于concurrence測度（通粹糾纏度）之上：

同時，還可以得到基于通粹糾纏度的新的滲流連通規則。

經典滲流理論的連通規則已經被分解為串并聯規則（類比于電阻網絡），其表達式給出了兩點間至少有一條完全“開啟”的通路的概率。與之類似，確定性量子通訊協議為通粹滲流理論提供了一套新的串并聯規則。此外，基于串并聯規則，未知的高階連通規則可以通過一種star-mesh （SM） 變換進行近似。

基于兩種理論不同的串并聯規則（及SM變換）得到的滲流閾值（紅色豎線，棕色豎線）的對比。通粹滲流理論預測的滲流閾值要顯著小于經典滲流理論，意味著即使每條鏈路的糾纏度小于經典滲流閾值，也可以實現長距離量子傳輸。實際操作上，由于串并聯規則由量子通訊協議直接確定，這表明任何僅由串并聯規則構成的串并聯結構量子網絡都可以通過局域操作與通訊的方式實現通淬滲流理論的結果；

另一方面，盡管SM變換得到的近似高階連通規則無法由局域操作與通訊實現，但可以通過多鏈路路由和多體量子協議方案來逼近。

研究者認為，該發現實際上體現了一種“量子優越性”（quantum advantage）。這種“優越性”并非體現于可數個量子比特，而是涌現于統計大尺度上。研究者相信該理論工作不僅可以加深對量子網絡功能極限的認識，也可以為量子糾纏統計性質帶來新的視角。

本科畢業于北京大學信息科學技術學院、現讀于波士頓大學物理系博士生孟祥一為論文的第一作者。倫斯勒理工高建喜教授與巴伊蘭大學Shlomo Havlin教授為論文的共同通訊作者。

編輯：jq