n階矩陣乘法最優解的時間復雜度再次被突破，達到了

。

按定義直接算的話，時間復雜度是O(n3)。

光這么說可能不太直觀，從圖上可以看出，n足夠大時優化后的算法就開始表現出明顯優勢。

矩陣乘法在深度學習中有著廣泛的應用，像卷積神經網絡(CNN)中最耗時間的卷積計算，就經常被映射成矩陣乘法。

雖然在具體實現上還有很多障礙，但矩陣相乘底層算法的優化，至少在理論上為深度學習節省時間提供了可能性。

而科學家們努力的目標，是使n階矩陣乘法的時間復雜度盡可能接近理論上的最快速度O(n2)。

本次研究共同作者是一對師徒。

Josh Alman目前是哈佛大學的博士后研究員，主要研究方向是算法設計和復雜度理論。

Virginia Vassilevska Williams是他在MIT讀博士期間的導師，研究方向是組合數學和圖論在計算領域的應用。

Strassen：用加法替代乘法

矩陣乘法的時間復雜度直到1969年才第一次被Volker Strassen降至O(n3)以下。

看過《算法導論》的同學應該很熟悉Strassen算法。

以2階矩陣相乘為例，總共需要進行23=8次乘法，而2?的高階矩陣相乘可以用分塊法不斷迭代細分解成若干個2階子矩陣相乘。

Strassen巧妙的通過構造7個中間變量，用增加14次加法為代價省去了一次乘法。

對于

定義

則有

像這樣，在M?-M?的計算中只有7次乘法操作。
由于矩陣乘法計算中乘法的復雜度是O(n3)，而加法的復雜度只有O(n2)，n越大時此方法的收益就越大。

且分塊后每個子矩陣相乘都可以省去一次乘法操作，最終把時間復雜度降低到

。

這么繞的算法到底怎么想出來的？可惜Strassen在論文中并沒有說明這一點。

Strassen算法在實際應用時受到很大限制，如運行時會創建大量的臨時變量，在n不夠大時反倒更耗費時間。

還有只適用于稠密矩陣，針對稀疏矩陣有更快的專門算法。

但最重要的是，Strassen的辦法讓學界意識到，原來矩陣乘法問題還有優化空間啊！

激光法：用張量替代矩陣

20世紀70年代末期,科學家們找到了解決問題的新思路，將矩陣計算轉換為張量計算。

1981年，Schonhage將此方法優化到

后，Strassen把這個方法命名為“激光法(Laser Method)”，因為和正交偏振激光有相似之處。

在后來的幾十年中，矩陣乘法的每次優化都來自激光法的優化，即如何更有效的把矩陣問題轉換成張量問題。

Alman和Williams的優化算法只比14年LeGall的

減少了

。

從歷次優化的幅度來看，似乎已逼近激光法的極限。

能算得更快了嗎？

激光法很少在實際中應用，因為它只在n足夠大，大到現代計算機硬件幾乎無法處理的時候才能提供優勢。

這樣的算法被稱作“銀河算法(Galatic Algorithm)”。

在業界使用最多的還是通過分塊法和并行處理控制矩陣的規模。當n不大時，再通過循環展開，內存布局優化等辦法針對直覺算法的優化。

還有一點，現實中由于浮點數精度的限制，Strassen法和激光法在計算大規模矩陣時都會產生不小的誤差。

矩陣乘法的加速，看來還沒那么容易。

責任編輯：haq