CORDIC算法簡介

在信號處理領域，CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer，坐標旋轉數字計算機）算法具有重大工程意義。CORDIC算法由Vloder于1959年在設計美國航空導航控制系統時提出，主要用于解決導航系統中三角函數、反三角函數和開方等運算的實時計算問題。

1971年，Walther將圓周系統、線性系統和雙曲線系統統一到一個CORDIC迭代方程里，從而額提出了一種統一的CORDIC算法形式。

CORDIC算法的核心是利用加法和移位的迭代操作去替代復雜的運算，從而非常有利于硬件實現。CORDIC算法應用廣泛，如離散傅里葉變換（DFT）、離散余弦變換（DCT）、離散Hartley變換、Chirp-Z變換、各種濾波以及矩陣中的奇異值分解。

在工程領域，可采用CORDIC算法實現直接數字頻率合成器（DDS）、計算I/Q信號的幅度和相位。

01CORDIC基本原理

我們假設在笛卡爾坐標系（也就是我們常見的XY直角坐標系）中，將點（x1，y1）旋轉θ角度到點（x2，y2）的標準方法如下所示：

根據上圖，我們利用高中學習的三角函數、圓方程和極坐標等中學知識，可以得到：

這被稱為是平面旋轉、向量旋轉或者線性 （ 矩陣） 代數中的 Givens 旋轉。

上面的式子，我們將大學二年級學習的線性代數知識拿出來，用矩陣的形式來表示，于是得到：

例如，我們做一個90°的相移，即θ=90：

這里注意cos和sin函數在直角坐標系下的物理意義，于是我們得到下面的圖示。

上面的第一個式子，我們假設提出一個公因子cosθ，那么我們可以得到：

如果去除項，我們得到 偽旋轉 方程式 ：

即旋轉的角度是正確的，但是x 與 y 的值增加cos-1θ 倍 （ 由于cos-1θ》 1），所以模值變大。

注意我們并不能通過適當的數學方法去除cosθ 項 ， 然而隨后我們發現去除項可以簡化坐標平面旋轉的計算操作。

怎么說呢？

在XY坐標系中，結合上面的偽旋轉公式，我們可以用下圖表示：

于是，我們得出以下結論：

經過偽旋轉之后，向量 R 的模值將增加1/cosθ 倍。

向量旋轉了正確的角度 ， 但模值出現錯誤。

經過偽旋轉后， 輸出進行適當的幅度伸縮（1/cosθ），是不是就可以得到旋轉后的坐標了。

02CORDIC方法

CORDIC 方法的核心是 （ 偽） 旋轉角θ，其中，

這個等式是怎么推導出來的呢？

所以方程為：

下面的表格指出用于 CORDIC 算法中每個迭代 （i） 的旋轉角度 （精確到 9位小數）：

note：由于i是整數，所以對應的角度值都是一一確定的，只能通過幾個角度的加減組合來達到你所想要的角度值。

注意有三個方面的變化：

角度累加（減）

坐標值累加（減）

向量的模（也就是長度的，相對于橫縱坐標的）累加（減）

這三個累加的變化時不一樣的，注意區別，角度的累加和長度的累加有一定的對應關系。

03角度累加器

上述三個方程式為圓周坐標系中用于角度旋轉的 CORDIC 算法的表達式。后續部分中我們還將看到CORDIC 算法被用于其它的坐標系，通過使用這些坐標系可以執行更大范圍的函數計算。

04移位-加法算法

因此， 原始的算法現在已經被減化為使用向量的偽旋轉來表示的迭代移位-相加算法 ：

因此，每個迭代需要：

note：前面提到的去除 cos 項的原因是顯而易見的。當將該項去除時，轉換公式已經被簡化為偽旋轉的迭代移位相加計算。

CORDIC 硬件實現結構：

05伸縮因子

前面提到，為了得到偽旋轉公式，我們把公因子cosθ忽略了，但在實際運算中，不能就這樣簡單粗暴拋棄。

我們再次對cosθ進行變形：

于是，我們可以得到：

如果我們已知了將被執行的迭代次數，我們便可以預先計算出 1/Kn 的值，并通過將 1/Kn 與 x（n） 和 y（n）相乘來校正x（n） 和 y（n） 的最終值。

CORDIC有兩種工作模式：旋轉模式和向量模式。

06三種坐標系下的CORDIC

然而， 我們將會看到，通過考慮其它坐標系中的旋轉， 我們可以直接計算更多的函數， 如乘法和除法， 進而間接計算更多的其它函數。

使用其它坐標系的 CORDIC 算法的優點是可以計算更多的函數， 而缺點則是系統將變得更加復雜。當把CORDIC 算法用于線性或雙曲坐標系時， 在圓周坐標系中的旋轉角度集將不再有效。所以， 這些系統應使用其它的兩種旋轉角度集。

我們會發現，可以推導出可在 3 個坐標系中表示 CORDIC 方程的通用公式。這意味著在方程式中引入兩個新變量。其中一個新變量 （e（i）） 代表了適當的坐標系中用于表示旋轉的角度集。

當把CORDIC算法用于雙曲線旋轉時，伸縮因子K與圓周旋轉的因子有所不同。

我們通過引入一個新變量μ，得到CORDIC的通用方程：

至此，三個坐標系下的CORDIC方程得到大一統。

在使用FPGA進行CORDIC算法實現時，理想CORDIC 架構取決于具體應用中速率與面積的權衡。

可以將 CORDIC 方程直接翻譯成迭代型的位并行設計，然而：

位并行變量移位器不能很好地映射到 FPGA 中

需要若干個 FPGA 單元。導致設計規模變大而設計時間變長

參考文獻

關于 CORDIC 算法的基礎以及細節問題，可參見下面的材料 ：

［1］ R. Andraka. A survey of CORDIC algorithms for FPGA based computers. www.andraka.com/cordic.htm

［2］ The CORDIC Algorithms. www.ee.byu.edu/ee/class/ee621/Lectures/L22.PDF

［3］ CORDIC Tutorial. http://my.execpc.com/~geezer/embed/cordic.htm

［4］ M. J. Irwin. Computer Arithmetic. http://www.cse.psu.edu/~cg575/lectures/cse575-cordic.pdf

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