自由曲面光學是照明行業在光線重定向到目標區域方面的改變者。非均勻有理B樣條，通常稱為NURBS廣泛用于表示自由曲面和曲面。有一些光學系統需要在設計或優化階段對表面進行局部修飾。在這種情況下，NURBS不能提供這種轉換。但是一個叫做T－splines的新數學表達式使得這是可行的。雖然它的潛力已被很好地描述，但迄今為止尚未在任何優化程序中實施。Annie Shalom Isaac，來自卡爾斯魯厄理工學院的Jiayi Long和Cornelius Neumann通過在優化程序中執行T型樣條證明了局部細化能力的優勢，并對結果進行了評估。結果表明，與NURBS相比，T樣條提供更均勻和均勻的光分布，且收斂速度更快。這使得使用T樣條的光學設計或優化成為未來自由形式設計任務的直觀方法。

3x3 OFFD柵格在（左）和（右）變形之前封閉和光學表面

自由形式光學器件的設計在很大程度上依賴于以下方法之一：基于點源假設［3］，SMS設計［4］和基于等通量網格［5］的源目標圖的裁剪以創建初始光學表面。由于這些數學方法不能保證為擴展的LED光源提供準確的結果，也不能提供通用的解決方案，光學設計師仍然依靠任何優化工具來改善結果。光線跟蹤算法中的速度提高以及復雜的智能優化算法使優化方法的應用更加廣泛。但自由曲面優化的缺點主要是由于其復雜的數學表達和許多參數的存在。

Wendel et．al提出了一種稱為優化的方法，使用自由形變（OFFD）來克服這個困難，將光學表面置于網格中并使封閉的網格變形而不是直接作用于網格［1］。這種方法使用NURBS來表示光學表面，其結果表明，使用較少的優化變量，它們可以很好地實現全局變形，這使得制造更容易。但是有些情況下需要在光線分布上有明顯的傾斜，或者光線的路徑必須顯著改變。在這種情況下，輕微的局部變形會帶來顯著的改善。但是對于目前的OFFD，這是不可能的，因為下面的表面表示。稱為T樣條的另一種表面表示法可以克服這個缺點［2］。Bailey等人。al已經證明了T－splines的潛力及其在光學表面的應用［6］。但是迄今為止，這種方法既未應用于任何優化程序，也未對其光學性能進行分析并與NURBS進行比較。

因此，這項工作考慮了這個問題，并提供了解決這個問題的替代方法。第2部分介紹了OFFD技術。光學表面的數學表面表示在第3節中介紹．T樣條的實現結果和比較結果在第4節中顯示，隨后在第5節中給出結論。

使用OFFD進行優化

OFFD方法采用Sederberg ［7］提出的自由變形（FFD）技術，并結合優化程序。網格和光學表面之間的關系使用FFD算法很好地建立［7］。圖1顯示了在變形之前和之后具有光學表面的網格。為了簡潔起見，只介紹OFFD方法的概述。

一個3x3 OFFD網格包圍和光學表面（左）和之后（右）變形

該算法首先選擇一個輸入表面，其光學性能必須得到改善，這通常遠離目標。通過這種方法，光學表面被包圍在包含27個網格控制點的網格內，并且用戶可以從它們中選擇任何組合。這作為變量提供給優化算法。優化算法對于選定的網格點組合具有廣泛的搜索空間，并提供沿三維向封閉網格的移動。隨著封閉的網格發生變化，它也會改變其內部的光學表面。然后對變形后的表面進行光度評估，優化算法根據此結果決定其優化變量的變化。該算法一再重復，直到達到目標照明要求。

自由形變優化的工作流程（OFFD）

這個程序中最重要的一步是變形光學表面的品質因數定義，因為整個優化是基于這個單一的值，稱為Q．在本文中，我們使用兩個不同的評價函數。

偏差評價函數Qdev，其對應于當前模擬分布與期望分布的偏差并被表示為

G是人們感興趣的區域，Eideal（x）是期望的照度分布目標，E（x）是當前的光分布。

通量擇優函數Q 磁通對應于最大化，其中被量化為在目標（Φ通量的比率所需的目標區域中的通量噸），并通過光學器件收集φC可用通量。

光學表面的數學表示

NURBS

NURBS技術非常成熟，可用于計算機輔助圖形系統以及光線追蹤器。由于其靈活性，可以通過在優化程序期間更改控制點或其重量來輕松操縱或修改曲面。NURBS曲面是參數張量積曲面，定義如下：

其中P ij是控制點的矩形陣列，其中P ij是（n ＋ 1）×（m ＋ 1）矩陣，wi，j是權重，N ip（u）和N jq（v）是u和p的基函數， v方向，分別與結矢量相關聯。

其中r ＝ p ＋ n ＋ 1和s ＝ m ＋ q ＋ 1成立。當必須在NURBS中添加控制點時，使用結插入方法完成控制點。添加單個節點需要添加整列或一排控制點。使用NURBS也不可能去除結頭，而不會改變幾何形狀。這種局部細化主要限于NURBS，因為它的張量產品結構如EQ3所示。如圖3所示，NURBS曲面被逐列水平和垂直逐行地重復。為了滿足這種平衡，如果增加一個新的控制點，則同時添加整列或一行控制點。

顯示初始5x5 NURBS補丁（左圖）的示例，修改后如何在NURBS（中）和T樣條（右）完成時沿行和列添加控制點

審核編輯：符乾江