一、簡介

特性阻抗可以說是分布式參數(shù)電路中最重要的電氣參數(shù)，但它也是容易使剛接觸射頻電路的人感到困惑的話題。由于它的名字里有阻抗二字，暗示著它在量綱上等于電壓和電流的比值，但是它和集總參數(shù)阻抗必然是不同的，那么傳輸線的特性阻抗和集總參數(shù)阻抗究竟有什么聯(lián)系和區(qū)別？我們來一起探討，一一解答。

二、傳輸線的即時阻抗

這里我們討論的傳輸線是由兩個具有一定長度的導體構(gòu)成的。為了便于突出問題的重點，以下討論中的傳輸線均是理想無損耗的。 如圖1所示，假設(shè)我們在向右無限延伸的傳輸線左側(cè)接一個理想恒壓源，并且在t=0的時候?qū)㈤_關(guān)從斷開轉(zhuǎn)換到閉合狀態(tài)，那么傳輸線開始感受到電源的“壓力”。任何事情都不是一蹴而就的，沿著傳輸線長度的方向并不是所有的位置都立刻建立起了電勢差，電勢差的建立需要一個電壓傳播的過程，而傳播的速度是光速。

圖1 一端外加電源的傳輸線電路 在開關(guān)閉合后的某時刻，沿傳輸線方向的電勢差分布如圖2所示。在靠近電源的傳輸線部分已經(jīng)建立起電勢差，維持電勢差需要在傳輸線的上導體積累正電荷，在下導體積累負電荷。每經(jīng)過一段時間，電壓波會沿著傳輸線方向推進，而電壓波波前的下一段傳輸線即將在兩個導體之間建立電勢差。使原本沒有電勢差的傳輸線部分建立電勢差需要提供額外的正負電荷，搬運正負電荷的工作是由電源來完成的，這個過程是一個給電容充電的過程。

圖2 某時刻電壓波沿傳輸線的傳播情況 在均勻傳輸線中，電壓波傳播的速度是恒定的，即相同時間內(nèi)一定長度的傳輸線會被充電，由于橫截面均勻，同一長度傳輸線對應(yīng)的電容大小也是相同的，因此需要的電荷量是固定的。我們可以認為，在δt這一小段時間內(nèi)，由δQ的負電荷（電子）被從傳輸線上導體的某一段轉(zhuǎn)移到下導體對應(yīng)的位置上，從而建立起該段傳輸線的電勢差。對于電源而言，需要持續(xù)輸出電流I=δQ/δt，因此在電源看來，這條傳輸線和一個負載電阻沒有區(qū)別，這個負載電阻的大小就等于傳輸線的特性阻抗。如果傳輸線的橫截面是非均勻的，那么隨著電壓波的傳播，不同時刻電源輸出電流的大小是變化的，即從電源所在的端口向傳輸線看去，看到的阻抗是隨時間變化而改變的，因此這個阻抗被稱為即時阻抗（instantaneous impedance）。即時阻抗等于即將被充電的那一段傳輸線的特性阻抗。

三、均勻傳輸線即時阻抗的推導

假設(shè)圖1中施加的恒壓源電壓為V，電壓波在傳播的過程中，傳輸線上建立起來的電勢差等于恒壓源電壓V。假設(shè)單位長度的傳輸線的等效電容為C，而電壓波在傳輸線中傳播的速度為v，那么在一小段時間δt內(nèi)，電壓波傳播的距離為，新充電的電容大小為，電源提供的電荷量為 δQ=Cvδt?V 那么電壓源持續(xù)輸出的電流大小為 I=δQ/δt=Cv?V 而即時阻抗為 Z=V/I=1/(Cv) 公式(1)

圖3 經(jīng)典的傳輸線電路模型 另一方面，經(jīng)典的傳輸線方程是建立在圖3所示的傳輸線電路模型基礎(chǔ)上的，通過電報方程，我們可以推導出傳輸線的傳播常數(shù) 以及特性阻抗 在無損耗傳輸線中R= 0 Ω，G= 0 S。電壓波的傳播速度可以由γ推出： 因此有特性阻抗 公式(2) 比較（1）和（2）我們可以看出，即時阻抗和傳輸線特性阻抗大小是相等的。 如果圖1中是一條無限長均勻傳輸線，它將永遠在充電的過程當中，因為電壓波永遠在前進狀態(tài)。如果無限長均勻傳輸線的特性阻抗為Z0，那么它在電路中就可以被等效為一個大小為Z0的集總參數(shù)阻抗。

四、傳輸線電路的時域分析

在上一小節(jié)我們了解到傳輸線的即時阻抗等于特性阻抗，我們可以利用這個規(guī)律對圖4所示的傳輸線電路時域響應(yīng)進行分析。這個電路包含一段長度為l，特性阻抗為R0的無損耗均勻傳輸線，在傳輸線坐標z = 0的一端連接著一個內(nèi)阻為RS的直流電壓源V0，在另一端連接負載RL，在t = 0的時候開關(guān)閉合，我們將分析在此之后的傳輸線電壓分布情況。

圖4 進行時域響應(yīng)分析的傳輸線電路 在上一小節(jié)的分析中，我們知道電壓波在傳輸線上的傳播速度是有限的，即 , 在電壓波到達負載電阻之前，電壓波并不清楚電路前方是什么情況，它所感知到的是大小為R0的即時負載，因此這段時間內(nèi)傳輸線上靠近電源一端的電勢差可以通過串聯(lián)分壓求得： 與此同時，電壓源持續(xù)輸出的電流大小為 這個狀態(tài)一直持續(xù)到電壓波到達傳輸線最右端，到達最右端的時間為 此時電壓波發(fā)現(xiàn)了新大陸，負載電阻RL≠R0。為了使負載電阻RL兩端的電壓電流滿足歐姆定律，會產(chǎn)生沿著-z方向傳播的反射電壓波當反射電壓波在t= 2T時到達最左端，又會產(chǎn)生一個沿著+z方向傳播的反射波之后電壓波在源和負載之間不斷地來回反射，隨著時間的推移，最后負載電阻兩端的電壓趨向于將V1+，ΓL以及ΓS的表達式帶入上式進行化簡，可以得到VL的簡化表達式 最后的表達式是意料之中的，因為圖4的電壓源為直流源，此時按照經(jīng)典低頻電路的看法，傳輸線是透明的，圖4的電路就是一個負載電阻和電壓源內(nèi)阻的分壓電路。 從上述分析可以看到，開關(guān)剛閉合的時候，電路是在RS和R0之間進行分壓；達到穩(wěn)態(tài)以后，是RS和RL之間進行分壓，最后無論傳輸線特性阻抗R0是多少，都不影響VL的值。

參考文獻

[1]

R. J. Cameron, C. M.Kudsia, and R. R. Mansour, MicrowaveFilters for Communication Systems: Fundamentals, Design and Applications, 2nded. Hoboken, NJ, USA: Wiley, 2018.

[2]

A. E. Atia and A. E. Williams, “A solutionfornarrow-band coupled cavities,” COMSAT Laboratories Tech. Memo. CL-39-70, 1970.