今天遇到一個網友問一個問題，他有一個傳感器測量一個物理量，需要判斷其變化趨勢，我給了一些建議，這里將這個建議展開做些深入分析，并分享給大家。

本文想借此表達一下個人的一個觀點，做開發如果遇到無法解決的難題，可以試著從數學的角度出發，看能否找到答案。

是個啥坑？一個項目中用到一個傳感器測量一物理量，這里假定測量溫度吧。需要判斷其變化趨勢，利用這個變化趨勢去做一些應用。

那么要怎么判斷一個物理量的變化趨勢呢？我們能自然能想到去求取該隨機序列的變化率。這里涉及到一些數序定義。隨機序列有很多可能的來源，最為常見是模數采樣。

這樣將S（t）信號轉換為離散信號序列S（n），那么對于當前時刻其斜率怎么求取呢？（這里忽略中間的過度態，僅將其看為線段相連，當然現實應用中如果有更高要求，可以做曲線擬合）

但是如果只判斷，斜率極容易誤判，比如下面這樣的情況：

其斜率一會兒正，一會兒負，但是其總體趨勢又是在增加的，所以只考察斜率顯然不可取，獲取需要在代碼在加各種復雜的條件或者限值去判斷。即使加這么多條件系統仍然可能表現的非常不健壯。

對于模擬信號2而言，趨勢又在不斷變化。那么怎么做才能穩定呢？先賣個關子？

函數的凹凸性凹函數凹函數是一個定義在某個向量空間的凸集C（區間）上的實值函數f。設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1《x2和任意的實數t屬于（0，1），總有，

則稱函數f為l上凹函數，有的書上也稱為下凸函數。

如果把上述條件中的“≥”改成“》”，則叫做嚴格上凹函數，或叫做嚴格下凸函數。

上面是一維函數情況，這里來個2維函數的圖，剛方便理解

凸函數設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1《x2和任意的實數t屬于（0，1），上面不等式變成大于等于，則在該區間為凸函數。

可見，凹凸是相對的，如f（x）在某區間為凹，則-f（x）則在該區間為凸。

性質若一個函數在某區間二階可導且大于0，則函數在該區間為凹函數

若一個函數在某區間二階可導且小于0，則函數在該區間為凸函數

證明，這里就不推導了，可以利用拉格朗日中值定理可以推導出上面這個性質。

來看一下會動的圖，加深一下理解：

函數從到切線為藍色，曲線向上凹，綠色表示曲線是向下凹的，紅色表示曲線的拐點。

sin（2x）的一階導數為：

sin（2x）的二階導數為：

回到坑里通過上面裝逼，是否可以利用離散序列的求導數來判斷傳感器的變化趨勢。啥？導數？又要開始表演了？

前面說了一階導數是這樣的：

那么二階導數是哪樣捏？

化簡一下：

其中S［n］表示當前測量點，S［n-1］表示前一個測量點，S［n-2］表示前第2個測量點。應為+S［n-2］

上代碼#include 《stdio.h》

#include 《math.h》

#include 《string.h》

typedef struct _T_2ND_DRV

float xn1;

float xn2;

}t_2ND_DRV;

typedef struct _T_1ST_DRV

float xn1;

}t_1ST_DRV;

void init_second_derivative（t_2ND_DRV *pSndDrv）

pSndDrv-》xn1 = 0;

pSndDrv-》xn2 = 0;

float second_derivative（t_2ND_DRV *pSndDrv， float xn，float T）

float result=0.0f;

if（T《=0）

return 0x7FBFFFFF; /*非法數據*/

result = （xn-2*pSndDrv-》xn1+pSndDrv-》xn2）/T/T;

pSndDrv-》xn2 = pSndDrv-》xn1;

pSndDrv-》xn1 = xn;

return result;

void init_fisrt_derivative（t_1ST_DRV *p1stDrv）

p1stDrv-》xn1 = 0;

float fisrt_derivative（t_1ST_DRV *p1stDrv， float xn，float T）

float result=0.0f;

if（T《=0）

return 0x7FBFFFFF; /*非法數據*/

result = （xn-p1stDrv-》xn1）/T;

p1stDrv-》xn1 = xn;

return result;

#define PI 3.1415f

#define SAMPLE_RATE 500.0f

#define SAMPLE_T （1/SAMPLE_RATE）

#define SAMPLE_SIZE （100）

int main（）

float sim1［SAMPLE_SIZE］;

float sim2［SAMPLE_SIZE］;

float out1［SAMPLE_SIZE］;

float out2［SAMPLE_SIZE］;

t_2ND_DRV sndDrv;

t_1ST_DRV frtDrv;

init_fisrt_derivative（&frtDrv）;

init_second_derivative（&sndDrv）;

FILE *pFile=fopen（“。/simulationSin.csv”，“wt+”）;

if（pFile==NULL）

printf（“simulationSin.csv opened failed”）;

return -1

for（int i=0;i《SAMPLE_SIZE;i++）

sim1［i］=10*sin（2*PI*10*i/500）;

for（int i=0;i《SAMPLE_SIZE;i++）

out1［i］=fisrt_derivative（&frtDrv，sim1［i］，SAMPLE_T）;

out2［i］=second_derivative（&sndDrv，sim1［i］，SAMPLE_T）;

fprintf（pFile，“%f，%f，%f

sim1［i］，out1［i］，out2［i］）

fclose（pFile）;

return 0;

忽略前兩個點，利用excel生成曲線：

從圖中可看出：

一階導數為正時，函數遞增趨勢；

一階導數為負時，函數遞減趨勢；

二階導數為0時，出現拐點，趨勢改變；此時如果左右兩側的一階導符號相反，則出現極值。

二階導數為負時，其一階導數也即原函數斜率規律單調減，二階導數為正時，其一階導數也即原函數斜率規律單調增。

再進一步：

一階導數與二階導數結合起來看，就可以看出測量值變化趨勢的趨勢，比如在前1/4周期，此區間變換趨勢為增，也即一階導數為正，而其二階導數為負，也可以看出遞增的趨勢是逐漸減小到0的。

代碼優化如果只是做定性判斷，上述函數，完全沒必要與采樣周期做除法，只需要考察其增量即可，代碼可優化如下：

typedef struct _T_2ND_DRV

float xn1;

float xn2;

}t_2ND_DRV;

typedef struct _T_1ST_DRV

float xn1;

}t_1ST_DRV;

void init_second_derivative（t_2ND_DRV *pSndDrv）

pSndDrv-》xn1 = 0;

pSndDrv-》xn2 = 0;

float second_derivative（t_2ND_DRV *pSndDrv， float xn）

float result=0.0f;

result = xn-2*pSndDrv-》xn1+pSndDrv-》xn2;

pSndDrv-》xn2 = pSndDrv-》xn1;

pSndDrv-》xn1 = xn;

return result;

void init_fisrt_derivative（t_1ST_DRV *p1stDrv）

p1stDrv-》xn1 = 0;

float fisrt_derivative（t_1ST_DRV *p1stDrv， float xn）

float result=0.0f;

result = xn-p1stDrv-》xn1;

p1stDrv-》xn1 = xn;

return result;

意外收獲這里意外引入一個可能很多人沒注意的知識點NaN，在計算中，NaN代表非數字，是數字數據類型的成員，可以將其解釋為不確定的或無法表示的值，尤其是在浮點運算中。1985年，IEEE 754浮點標準引入了NaN的系統使用，并表示了其他無限量（如無窮大）。

前述函數返回0x7FBFFFFF，也就是表示無窮大。

不同的操作系統和編程語言可能具有NaN的不同字符串表示形式：

nan

NaN

NaN%

NAN

NaNQ

NaNS

qNaN

sNaN

1.#SNAN

1.#QNAN

-1.#IND

實際上，由于編碼的NaN具有符號，因此通常也可以在NaN的字符串表示中找到它們，例如：

-NaN

NaN12345

-sNaN12300

-NaN（s1234）

工程應用這里給出我的建議方案：

將傳感器信號經由電路處理，模數采樣，在進入前級數字濾波器，濾除不必要的噪聲，在進行一階/二階求導。對于一階和二階求導再做一級移動平均濾波，最后在按照上面描述進行判別變化趨勢，則個人認為基本就比較健壯了。實際移動均值濾波長度不宜選擇過長，否則響應就比較滯后了。不能對傳感器的變化趨勢做出實時的判別。加了后級均值濾波器，則會消除由于波形忽上忽下的隨機噪聲干擾影響，使得系統判別更為健壯，實際濾波器長度需根據不同的場合進行調試優化。或者也可以選擇別的IIR/FIR濾波器形式實現。

總結一下做為嵌入式er編程，有時候有必要去看看數學書，了解一下數學原理的背后故事，可能會給你帶來意想不到的作用哦。
責任編輯:pj