本文講解FIR濾波器的第二種設計方法——頻率取樣法。

我們在上一篇的末尾也曾總結過，窗函數法是從時域出發的一種設計方法，不直觀。為什么呢？因為我們設計濾波器更關注的是它的頻率特性（至少在現階段是如此），可不可以直接從它的頻率性能出發來設計濾波器呢？當然可以，這就是本篇我們要說的“頻率取樣法”。

三頻率取樣法

1. 設計原理

顧名思義，頻率取樣法，就是在頻域上取樣，取誰的樣？當然是取濾波器的頻率響應，也就是說：

得到的這N個離散樣本值之后，下面怎么辦？

我們知道，本章我們設計濾波器的終極目標（現階段哈，理論上的終極目標）就是得到描述濾波器的系統函數H(z)分子和分母多項式的系數。而對于FIR濾波器，分母為1，分子系數就是其單位沖激響應h(n)。所以，下一步，就是求出h(n)。

得出了H(k)，怎么得到h(n)呢？該我們學過的法寶DFT隆重登場了，只不過這次是逆變換：IDFT。

好啦，現階段終極目標實現了。看上去似乎很簡單，但是......拿這個h(n)當我們的終極目標，靠譜嗎？

所以我們需要分析一下，這個h(n)代表的濾波器的濾波特性到底如何？能不能達到設計指標要求？

通過前面學習窗函數法，我們知道，窗函數法得到的h(n)是對理想濾波器的hd(n)進行截斷得到的，所以濾波性能比理想濾波器差。那么，我們通過前面的過程得到的h(n)，它與理想濾波器的hd(n)，又是什么關系呢？或者說，h(n)代表的實際FIR系統的頻率響應H(e^jw)，與hd(n)代表的理想濾波器頻率響應Hd(e^jw)，是什么關系呢？下面用兩種方法進行分析：

2. 逼近誤差

第一種分析方法：分析h(n)與hd(n)的關系

我們的“時頻域終極對應關系”——一個域離散抽樣，另外一個域周期延拓，又要登場了。看下圖：

圖1

頻域上，將Hd(e^jw)以2Π/N為間隔離散抽樣，對應到時域上，就是將hd(n)以N為周期延拓。而DFT是時域頻域都取主值區間，所以用公式來描述這句話，就是：

看到這里，我們就要想到了，hd(n)是無限長的，把它周期延拓肯定會混疊啊，再取主值區間得到的h(n)，其數值肯定與hd(n)不同了。也正是因為這個”混疊“，才導致我們得到的FIR的頻率響應H(e^jw)，肯定不如理想濾波器的Hd(e^jw)。

第二種分析方法：分析H(e^jw)與Hd(e^jw)的關系

繼續前面一句話，H(e^jw)不如Hd(e^jw)，到底哪里不如呢？H(e^jw)表示不服氣“說我不好，給出證據來！”

我們知道，Hd(e^jw)是理想濾波器的頻響，它的模樣我們很清楚，表達式我們也能寫出來，以低通為例，就是下面的樣子：

圖2

我們自家的孩子H(e^jw)，是什么樣子呢？表達式能不能求出來呢？

我們回到圖1：H(e^jw)是h(n)的傅里葉變換（DTFT），而h(n)的DFT是H(k)，根據前面所學，DFT就是DTFT一個周期（[0~2Π]）的N個等間隔抽樣值。根據頻域抽樣中所學的“頻域的插值恢復”，有下面的公式來表示H(e^jw)：

圖3

抱歉，我知道這個公式很煩人，可是不把它擺出來，不能讓自家的孩子H(e^jw)心服口服啊。

說了這么多，理順一下：頻率取樣法的思路是：把完美無缺的別人家的孩子Hd(e^jw)，離散抽樣出N個點，得到H(k)，然后把H(k)求N點IDFT，得到h(n)，這就是我們自家的孩子，它的頻率響應H(e^jw)是什么呢？就是我們圖3中的內插公式來表示。

下面用圖形直觀說明自家的孩子與別人家孩子的差距，以低通濾波器為例。

圖4

圖4中，藍色虛線是“別人家的孩子”——理想低通濾波器的幅頻特性，截止頻率為π/3，按照頻率取樣法（點數N=15，如圖中藍色空心圓點所示，因為圖中只給出了0~π范圍內的圖，所以只顯示7個點）。

需要強調說明的是，H(k)是理想低通的頻譜取樣值（包括幅度和相位），而我們畫圖時，為了簡便，只給出幅度函數。

按照這些離散的頻率樣值點內插得到的實際濾波器（也就是自家的孩子）的幅頻特性是什么樣的呢？是圖4中的黑色實線。

哇，不比不知道，一比嚇一跳。自家孩子的差距一目了然。第一個缺點：通帶和阻帶之間出現了過渡帶；第二個缺點：通帶和阻帶內出現了起伏。

這兩個缺點能不能克服呢？

首先看第一個缺點，能不能盡量減小過渡帶呢？顯然是可以的，過渡帶寬度≈兩個相鄰采樣點的距離，即2π/N。那么，增大N，過渡帶就可以變窄。

我們把N從15增大到75點（如圖中紅色實心小圓點，0-π之間是38個），再利用這75個頻率取樣值內插得到的FIR濾波器的頻率響應，如圖5中的紅色實線，果然，過渡帶變窄了。

圖5

但是，我們比較圖5中的紅色實線與黑色實線，就會發現，雖然遠離截止頻率的通帶和阻帶內部，紅色實線的起伏小于黑色實線，但是第一旁瓣的起伏并不能顯著改變，也就是說，增大N不能減小阻帶最小衰減。

老母親在剛剛要長舒一口氣時，又絕望地發現，自家孩子的第二個缺點是基因造成的，無法改變。

不要絕望，雖然無法徹底根除，但能不能稍加改善呢？這就是我們的第三個問題：改進措施。

3.改進措施

要想改進，先找原因。產生起伏的原因，是因為樣本值H(k)突然從1變為0（間斷點），如果我們讓它變得慢一點，就有望減小起伏。也就是說：

在頻率響應間斷點附近區間插入一個或幾個過渡采樣點，使不連續點變成緩慢過渡帶。圖5所示為插入一個過渡采樣點的示例。

圖5

插入m個過渡點，過渡帶寬度近似為：(m+1)×2Π/N

過渡點個數m與濾波器阻帶最小衰減之間的關系有一些經驗數據，如下表所示。

而且，過渡采樣點的數值需要進行優化設計，不同的取值，會影響阻帶衰減。

看來，改造自家孩子，向著別人家孩子逼近，是一項光榮而艱巨的、近乎不可完成的任務啊。

老母親們該怎么辦呢？第一，選定方法，用什么方法來設計你自家的孩子，窗函數法、還是頻率取樣法，抑或是我們這里沒講到的最優化的方法......；第二，既然選定這種方法，說明它肯定有吸引你的優點，但是同時，你只能坦然接受這種方法命中注定的缺點。如果你發現這個缺點你無法接受，那對不起，你只好推翻重來，重新用其他方法來設計你的濾波器。

當然了，濾波器可以重新設計，但孩子只能養一次，就好比發射衛星，一旦發射失敗了，只好重新造一顆了。