在開篇，我詳細(xì)講了程序員為什么需要學(xué)數(shù)學(xué)。那么，怎樣的學(xué)習(xí)方法才是行之有效的呢？我想你現(xiàn)在心里還沒有一個(gè)固定的答案，而我不想一味地去講我自己的一家之言，畢竟沒有什么學(xué)習(xí)方法是最好的。

你能做的是要多看，去找適合自己的。而我能做的，就是盡量給你更多的參考，讓你可以自己來(lái)選擇。所以，我邀請(qǐng)了幾位朋友，讓他們來(lái)談一談，自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一些心得體會(huì)，希望對(duì)你有所啟發(fā)。

程序員是否需要學(xué)好數(shù)學(xué)？原本學(xué)數(shù)學(xué)分析、概率論、線性代數(shù)的時(shí)候，我也沒想到數(shù)學(xué)和寫程序有啥關(guān)系，但是隨著研究的開源軟件越來(lái)越多，我發(fā)現(xiàn)很多技術(shù)深入下去，本質(zhì)就是數(shù)學(xué)。

程序員應(yīng)該怎么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)呢？我不建議你將大學(xué)的數(shù)學(xué)書拿出來(lái)啃一遍，一來(lái)耗費(fèi)大量時(shí)間，二來(lái)和實(shí)際應(yīng)用結(jié)合不起來(lái)，往往該看的忽略了，不該看的費(fèi)了半天勁用不上，過一陣又忘了。

我們了解一個(gè)新技術(shù)有三個(gè)階段，第一階段是，怎么使用；第二階段是，如何實(shí)現(xiàn)，原理是什么；第三階段是，為什么這樣實(shí)現(xiàn)。學(xué)數(shù)學(xué)和學(xué)一門新技術(shù)一樣，也有這樣三個(gè)階段，先用起來(lái)，了解原理，然后了解為什么。

用一句話來(lái)說(shuō)，我們不能為了數(shù)學(xué)而學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)要和具體的應(yīng)用結(jié)合在一起。

隨著過去幾年深度學(xué)習(xí)成為程序員界的顯學(xué)，不少程序員開始回頭復(fù)習(xí)微積分、概率論和線性代數(shù)這樣的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課，乃至開始學(xué)習(xí)最優(yōu)化、博弈論這樣的應(yīng)用數(shù)學(xué)課。我自己則是因?yàn)閺?2010 年一頭扎入了計(jì)算廣告的大坑之后，重新開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

可以說(shuō)，這次重新學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，為我自己推開了程序世界中另一扇門，使得我在埋頭具體寫代碼之外，有機(jī)會(huì)重新從另一個(gè)角度，去認(rèn)識(shí)和理解“程序”和“問題的解決方案”這兩件事情。

我為什么要學(xué)點(diǎn)數(shù)學(xué)？

投入時(shí)間學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，于我來(lái)說(shuō)主要是兩個(gè)原因，一來(lái)，數(shù)學(xué)在工作中用得上；二來(lái)，學(xué)點(diǎn)數(shù)學(xué)很多時(shí)候是個(gè)有趣的事。

譬如說(shuō)，過去幾年火起來(lái)的深度學(xué)習(xí)，以及之前沒那么火，但是實(shí)際上早早就在搜索、廣告這些領(lǐng)域，應(yīng)用的機(jī)器學(xué)習(xí)和推薦算法。這里面其實(shí)就是結(jié)合了微積分、線性代數(shù)、概率論之后的最優(yōu)化問題。

事實(shí)上，大部分應(yīng)用領(lǐng)域的核心解決方案，都是把應(yīng)用領(lǐng)域的問題，形式化為一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問題。在找到數(shù)學(xué)問題的“解法”之后，用寫程序的方式翻譯成實(shí)際應(yīng)用的“算法”。而能夠應(yīng)用“數(shù)學(xué)”的方式來(lái)解決問題，是從一個(gè)只能套用現(xiàn)成方案的“碼農(nóng)”，向能夠?qū)⑿聠栴}形式化、并找出創(chuàng)新解決方案的“研發(fā)工程師”邁出的第一步。

很多問題當(dāng)你知道如何用數(shù)學(xué)來(lái)解決的時(shí)候，常常會(huì)有醍醐灌頂?shù)母杏X。譬如當(dāng)我第一次搞明白，廣告中的競(jìng)價(jià)問題，居然能夠變成一個(gè)博弈論中“尋找上策均衡”的問題，并且能夠通過簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的公式表示出來(lái)的時(shí)候，我是很有滿足感的。

此外，一旦熟悉了機(jī)器學(xué)習(xí)中用到的數(shù)學(xué)知識(shí)，很多想要解決的系統(tǒng)問題，都能通過定義更好的數(shù)學(xué)優(yōu)化目標(biāo)，變成一個(gè)能夠找到最優(yōu)解的程序算法，最后通過寫個(gè)程序，翻譯成數(shù)學(xué)問題來(lái)解決，這個(gè)過程帶給我巨大的身心愉悅。

我是如何學(xué)數(shù)學(xué)的？

數(shù)學(xué)整個(gè)領(lǐng)域很大，如果想要學(xué)點(diǎn)什么，我建議從工作相關(guān)的領(lǐng)域開始，先廣度，再深度。

從工作相關(guān)的領(lǐng)域開始，是讓自己一是能有實(shí)際用得上學(xué)到的知識(shí)的機(jī)會(huì)，二是日常工作中容易耳濡目染，相當(dāng)于常常在復(fù)習(xí)。而先有廣度，是讓自己在心中有一個(gè)問題到解決方法的“地圖”，遇到具體的問題能夠?qū)Φ蒙希菀撰@得正反饋；然后再有深度，具體去對(duì)一個(gè)特定的主題學(xué)習(xí)應(yīng)用。

當(dāng)開始深入學(xué)一個(gè)特定問題的時(shí)候，最好的方式是，追一門在線課程，譬如 Coursera、TEDx，或者在極客時(shí)間上找一門課程來(lái)學(xué)習(xí)。

這是因?yàn)椋诰€課程有明確的節(jié)奏，通常還會(huì)提供作業(yè)和測(cè)驗(yàn)。通過作業(yè)和測(cè)驗(yàn)，讓自己對(duì)自己的學(xué)習(xí)有一個(gè)聯(lián)系和反饋的過程。即使實(shí)踐中沒有足夠的應(yīng)用，過一段時(shí)間有些知識(shí)沒有那么熟悉了，但是也容易建立自己很快可以“撿”回來(lái)的信心，降低“復(fù)習(xí)”的啟動(dòng)成本。跟隨在線課程的節(jié)奏，可以有效避免“三天打漁兩天曬網(wǎng)”的惡習(xí)，讓學(xué)習(xí)有始有終。

最后，給你介紹一個(gè)有程序員特色的學(xué)習(xí)方法，針對(duì)學(xué)習(xí)的內(nèi)容寫一點(diǎn)程序。把正在學(xué)習(xí)的問題的解法，寫一個(gè)算法實(shí)現(xiàn)出來(lái)。這是一個(gè)非常有效的練習(xí)方式。譬如學(xué)習(xí)線性代數(shù)，理解仿射，反復(fù)讀書的效率對(duì)我來(lái)說(shuō)，就不如找來(lái) Coding The Matrix，通過寫程序，讓學(xué)習(xí)、理解變得更深入。

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，首要的問題是明確需求。作為非數(shù)學(xué)專業(yè)出身的“外行”，我們使用數(shù)學(xué)的目的不是頂天，而是立地；不是上下求索艱深的理論問題，而是將生活中的具體問題抽象化，進(jìn)而加以解決。

因此，對(duì)于我們這些票友來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在于經(jīng)驗(yàn)而非哲學(xué)，比較實(shí)際的思路是秉持功利主義的原則，用多少學(xué)多少。掌握基本的線性代數(shù)與矩陣論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)足以應(yīng)付日常的使用，盲目地好高騖遠(yuǎn)通常有害無(wú)益。理論化和公理化這些比較深邃的嘗試固然讓人著迷，但它們可能并沒有肉眼可見的實(shí)用性，對(duì)于絕大部分計(jì)算機(jī)從業(yè)者恐怕過于陽(yáng)春白雪。

其次，在學(xué)習(xí)時(shí)還要理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)是工具而非問題，是手段而非目的。探索世界奧秘的學(xué)科是“格物窮理”的物理學(xué)，相形之下，數(shù)學(xué)更像是個(gè)任人打扮的小姑娘，它存在的意義就是通過合理的設(shè)計(jì)簡(jiǎn)化物理學(xué)的研究。

正因如此，在數(shù)學(xué)中存在著各種各樣在現(xiàn)實(shí)中不可能出現(xiàn)的理想化模型（比如無(wú)窮小和極限的誕生），也存在著對(duì)同一個(gè)物理過程不同的建模方式（比如矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)）。充分理解數(shù)學(xué)的人造特質(zhì)，可以在學(xué)習(xí)中少走很多無(wú)謂的彎路。

理解數(shù)學(xué)的工具屬性就會(huì)自然而然地引出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的另一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，那就是工具設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)，也就是所謂的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)邏輯。

任何一個(gè)工具都不是平白無(wú)故地設(shè)計(jì)出來(lái)的，它必然要解決某個(gè)特定的問題，比如線性代數(shù)與矩陣論是對(duì)具體對(duì)象的抽象表示與運(yùn)算，比如概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)是對(duì)不確定性及其定型定量表示的建模。因此，在掌握每一種數(shù)學(xué)工具的微觀技巧之前，理解它們的宏觀目標(biāo)是更加重要的。只有掌握了工具誕生的背景與目的，才有可能有效地使用它們。

在這里還要多說(shuō)一句，數(shù)學(xué)絕不僅僅是算術(shù)，把主要精力放在計(jì)算上未免因小失大。在經(jīng)典科幻《銀河系漫游指南》中，超級(jí)計(jì)算機(jī)告訴人們，世界的終極答案是“42”——這更像是對(duì)數(shù)字主義者善意嘲諷的一個(gè)梗。但對(duì)算術(shù)的過度強(qiáng)調(diào)并不鮮見，在相當(dāng)數(shù)量的現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中，講解線性代數(shù)時(shí)開篇便給出行列式的計(jì)算方法，這種編排著實(shí)讓人費(fèi)解。

具體到數(shù)學(xué)每個(gè)子學(xué)科的學(xué)習(xí)方法上，相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)已然汗牛充棟，很多內(nèi)容都無(wú)需在此贅言。但在我看來(lái)，學(xué)習(xí)時(shí)值得突出強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是舉一反三的能力。同一種工具及其背后的思想可以出現(xiàn)在不同的場(chǎng)景下，解決不同的問題，但是一旦深入到本質(zhì)層面，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們實(shí)際上是相通的。如何透過現(xiàn)象看本質(zhì)，將不同場(chǎng)景融會(huì)貫通，才是值得鍛煉的高級(jí)能力。

同一個(gè)工具存在不同應(yīng)用的例子不勝枚舉：

凡此種種都說(shuō)明，即使是不同的學(xué)科，使用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，將基本的數(shù)學(xué)概念和充分的想象力結(jié)合起來(lái)，觸類旁通就變得輕而易舉。

總結(jié)起來(lái)，我對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾點(diǎn)拙見是：把握數(shù)學(xué)的工具屬性，學(xué)習(xí)具體方法時(shí)先溯因再求果，勤于思考解決相同問題的不同方法，與解決不同問題的相同方法之間的聯(lián)系與區(qū)別。希望這幾條建議能夠在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中助你一臂之力。

好了，三位老師都分享完了自己的學(xué)習(xí)方法。其實(shí)他們有一個(gè)共同的觀點(diǎn)，那就是數(shù)學(xué)要是“實(shí)用”的，這和我的想法如出一轍。

首先我們來(lái)看最常用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和編程語(yǔ)句，我想你對(duì)它們應(yīng)該非常熟悉。在我眼里，這些基礎(chǔ)的內(nèi)容，同樣富含了數(shù)學(xué)思維。例如，數(shù)組和鏈表就體現(xiàn)了迭代和遞歸的思想，判斷語(yǔ)句就是使用了邏輯（布爾）代數(shù)。

對(duì)于架構(gòu)在這些數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和編程語(yǔ)句之上的算法（為了將這些算法和機(jī)器學(xué)習(xí)的算法區(qū)分，我稱其為通用算法），除了迭代和遞歸，也體現(xiàn)了排列、組合和動(dòng)態(tài)規(guī)劃等思想。

對(duì)于機(jī)器學(xué)習(xí)的算法而言，我們更需要理解概率統(tǒng)計(jì)和線性代數(shù)的核心思想，包括什么是概率、貝葉斯定理、數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分布、向量、矩陣、線性方程等等。

整個(gè)專欄我基本上都是從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，逐步推進(jìn)到這些知識(shí)在計(jì)算機(jī)中的應(yīng)用。不過在繪制這張應(yīng)用地圖的時(shí)候，我特意反其道而行之，從計(jì)算機(jī)編程的角度出發(fā)，為你展示程序員應(yīng)該如何看待編程中的數(shù)學(xué)知識(shí)。

我覺得在開始學(xué)習(xí)之前，這個(gè)地圖會(huì)給你一個(gè)大體的認(rèn)識(shí)，告訴你計(jì)算機(jī)領(lǐng)域常用的數(shù)學(xué)思想有哪些。這時(shí)，你也許會(huì)產(chǎn)生一些疑惑，同時(shí)你可以帶著自己的思考和問題去逐篇學(xué)習(xí)。等你學(xué)完整個(gè)專欄之后，再回頭來(lái)看看這個(gè)地圖，應(yīng)該會(huì)有更深的感觸。我希望這種雙向打通，能夠進(jìn)一步加強(qiáng)你的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。