傅立葉級數函數用于查找電路的穩態響應。有四種不同類型的對稱性可用于簡化評估傅里葉系數的過程。

對稱性的影響

偶函數對稱性

奇函數對稱性

半波對稱

四分之一波對稱

偶函數對稱

當且僅當

f （ t ）= f （ - t ）1.1

如果函數滿足Eq。 1.1，然后它被認為是因為只有偶數指數的多項式函數具有這種類型的行為。對于任何偶數周期函數，傅里葉系數的方程式簡化如下：

$$ a_ {v} = \ frac {2} {T} \ int_ {0 } ^ {T/2} f（t）dt。$$（1.2）

$$ a_ {k} = \ frac {4} {T} \ int_ {0} ^ {T/2所有 k （1.4）的f（t）\ cos k \ omega _ {0} tdt。$$（1.3）

$$ b_ {k} = 0 $$ ）

注意方程式1.4，如果函數是偶數，則所有 b 系數都為零。下面，圖1.1描繪了偶數周期函數。以下兩個衍生物完全遵循方程式。 1.2 - 1.4。通過每次推導，選擇$$ t_ {0} = -T/2 $$，然后我們將積分間隔從 - T /2分解為0和0到 T /2，或如下

$$ a_ {v} = \ frac {1} {T} \ int _ { - T/2} ^ { T/2} f（t）dt $$

$$ = \ frac {1} {T} \ int _ { - T/2} ^ {0} f（t）dt + \ int_ { 0} ^ {T/2} f（t）dt。$$（1.5）

圖1.1偶數函數off（t）= f（-t）

現在，必須更改積分變量在方程式右邊的第一個積分中。 1.5。特別是，我們可以讓 t = - x 并觀察 f （ t ）= f （ - x ）= f （ x ），因為函數是偶數。當 t = - T /2和 dt x = T /2 = -dx 。因此

$$ \ int _ { - T/2} ^ {0} f（t）dt = \ int_ {T/2} ^ {0} f（x） （-dx）= \ int_ {0} ^ {T/2} f（x）dx。$$（1.6）

它確實表明從 - T /2到0與從0到 T /2的積分相同。因此，Eq。 1.5與Eq相同。 1.2。得出方程1.3可以完成如下：

$$ a_ {k} = \ frac {2} {T} \ int _ { - T/2} ^ {0} f（ t）\ cos k \ omega _ {0} tdt + \ frac {2} {T} \ int_ {0} ^ {T/2} \ cos k \ omega _ {0} tdt $$（1.7）

但是

$$ \ int _ { - T/2} ^ {0} f（t）\ cos k \ omega _ {0} tdt = \ int_ {T/2} ^ { 0} f（x）\ cos（-k \ omega _ {0} x）（ - dx）$$

$$ = - \ int_ {0} ^ {T/2} f（x ）\ cos k \ omega _ {0} xdx。$$（1.8）

同樣，如前所述，從 - T /2集成到0與從0到 T /2的積分相同。通過結合Eq。 1.7與Eq。 1.8，Eq。 1.3是生產的。在此之后，當 f （ t ）是偶數周期函數時，所有 b 系數都為零，因為積分來自 - T /2到0是從0到 T /2的積分的精確負數。因此，

$$ \ int _ { - T/2} ^ {0} f（t）\ sin k \ omega _ {0} tdt = \ int_ {T/2} ^ {0} f（x）\ sin（ -k \ omega _ {0} x）（ - dx）$$

$$ = - \ int_ {0} ^ {T/2} f（x）\ sin k \ omega _ {0 } xdx。$$（1.9）

現在，如果Eqs。 1.2和1.3用于查找傅里葉系數，積分區間必須介于0和 T /2之間。

奇函數對稱

如果

f （ t ）= - f （ t ）（1.10）

滿足公式的函數。 1.10被認為是奇數，因為只有奇數指數的多項式函數就是這樣的。傅里葉系數的表達式如下：

$$ a_ {v} = 0; $$（1.11）

$$ a_ {k} = 0，所有的$$ K表; （1.12）

$$ b_ {k} = \ frac {4} {T} \ int_ {0} ^ {T/2} f（t）\ sin k \ omega _ {0} dt 。$$（1.13）

圖1.2

看著Eqs。 1.11 - 1.13，如果周期函數為奇數，則所有 a 系數均為零。上圖顯示了奇數周期函數。在方程式上使用相同的推導方法。 1.11 - 1.13，用于推導方程式。 1.2 - 1.4。

通過沿時間軸移動周期函數，可以拆除函數的均勻度（奇數）。從本質上講，這意味著明智地選擇 t = 0的位置可能會產生奇數或偶數對稱的函數。例如，圖1.3（a）中的三角函數不是偶數或奇數。然而，如圖1.3（b）所示，該函數可以是偶數，或者是奇數，如圖1.3（c）所示。

圖1.3

半波對稱

如果滿足以下約束，則稱該函數具有半波對稱性：

f （ t ）= - f （ t - T /2）（1.14）

公式1.14表示一個周期函數具有半波對稱性，如果它在被移動了一半的周期后被反轉，那就說與原始周期函數相同。例如，圖1.2和1.3中所示的周期函數具有半波對稱性，而圖1.4和1.5中的那些函數不具有這種對稱性。對于 t = 0，半波對稱性不作為函數存在。

如果給定函數確實具有半波對稱性，則 a

k 的偶數值，em> k 和 b k 被定義為零。類似地，由于具有這種對稱性的周期函數的平均值零， a v 也為零。傅里葉系數的表達式如下：

$$ a_ {v} = 0，$$（1.15）

$$ a_ {k} = 0，$$ k 偶數（1.16）

$$ a_ {k} = \ frac {4} {T} \ int_ {0} ^ {T/2 } f（t）\ cos k \ omega_ {0} tdt，$$ k odd（1.17）

$$ b_ {k} = 0，$$ for k even（1.18）

$$ b_ {k} = \ frac {4} {T} \ int_ {0} ^ {T/2} f（t）\ sin k \ omega_ {0} tdt，$$ k odd（1.19）

這些方程式來源于上一篇文章中的方程1.2 - 1.4，了解傅立葉系數。選擇從 - T /2到 T /2的積分間隔，然后將此范圍劃分為間隔 - T /2到0和0到 T /2。

$$ a_ {k} = \ frac {2} {T} \ int_ {t_ {0 }} {t_ {0} + T} f（t）\ cos k \ omega_ {0} tdt $$

$$ = \ frac {2} {T} \ int _ { - T/2} ^ {T/2} f（t）\ cos k \ omega_ {0} tdt $$

$$ = \ frac {2} {T} \ int _ { - T/2} ^ {0} f（t）\ cos k \ omega_ {0} tdt $$

$$ + \ frac {2} {T} \ int_ {0} ^ {T/2} f（t ）\ cos k \ omega_ {0} tdt $$（1.20）

從此處，右側第一個積分中的變量發生變化。

噸 = X - ?/2

然后

x = T /2，如果 t = 0

x = 0，如果 t = - T /2;

dt = dx

重寫第一個積分，

$$ \ int _ { - T/2} ^ {0} f（t）\ cos k \ omega_ {0} tdt = \ int_ {0} ^ {T/2} f（x - T/2）\ cos k \ omega_ {0}（x - T/2）dx $$（1.21）

考慮到

$$ \ cos k \ omega_ {0}（x - T/2）= \ cos（k \ omega_ {0} x - k \ pi）= \ cos k \ pi \ cos k \ omega_ {0} x $$

和b假設，

f （ x - T /2）= - f （ Ix ）

因此，Eq。 1.21現在可以寫成

$$ \ int _ { - T/2} ^ {0} f（t）\ cos k \ omega_ {0} tdt = \ int_ {0} ^ {T/2} [ - f（x）] \ cos k \ omega_ {0} tdt $$（1.22）

通過包括Eq。 1.22進入方程1.20，

$$ a_ {k} = \ frac {2} {T}（1 - \ cos k \ pi）\ int_ {0} ^ {T/2} f（t ）\ cos k \ omega_ {0} tdt $$（1.23）

但是，如果 k 為偶數，則$$ \ cos k \ pi $$等于1，如果 k 為奇數，則為-1。

總而言之，具有半波對稱零平均值的周期函數的傅里葉級數的表示僅包含奇數諧波。

四分之一波對稱

如果一個函數具有關于正和負半周期中點的半波對稱性和對稱性，則稱周期函數具有四分之一 - 波對稱。該功能如圖1.4所示;據說圖1.4（a）中的函數關于正半周期和負半周期的中點具有四分之一波對稱性。圖1.4（b）中的函數沒有這種對稱性，但它確實具有半波對稱性。

圖1.4

通過選擇 t = 0的位置，具有四分之一波對稱性的函數總是可以是偶數或奇數。例如，圖1.4（a）中的周期函數是奇數，可以通過沿著 t 向左或向右移動 T /4個單位變成偶數函數 - 軸。但是，因為圖1.4（b）中的周期函數只具有半波對稱性，所以它不能是偶數或奇數。

如果要使周期函數均勻，那么

$$ a_ {v} = 0，$$由于半波對稱

$$ a_ {k} = 0，$$ for k 偶數，由于半波對稱性

$$ a_ {k} = \ frac {8} {T} \ int_ {0} ^ {T/4} f（t） \ cos k \ omega_ {0} tdt，$$ k 奇數

$$ b_ {k} = 0，所有 k 的$$ ，因為周期函數是偶數（1.24）

上面的Eqs。 1.24是周期函數對稱性的結果，除了它是偶數。如果四分之一波對稱性疊加在半波對稱上， a v 和 a k 因此， k 甚至可以被淘汰?？匆幌?a k 和 k odd，Eq的表達式。 1.19表明，當四分之一波對稱性與均勻度相結合時，積分范圍從0到 T /2縮短為0到 T /4。

如果四分之一波對稱周期函數為奇數，

$$ a_ {v} = 0，$$由于函數為奇數

$$ a_ {k} = 0，所有 k 的$$，由于函數為奇數

$$ b_ {k} = 0，$$ for k 甚至，由于半對稱性

$$ b_ {k} = \ frac {8} {T} \ int_ {0} ^ {T/4} f（ t）\ sin k \ omega_ {0} tdt，$$ k 奇數（1.25）

上面的1.25的Eq因此而來四分之一波對稱性和奇數。與均勻度相似，四分之一波對稱性允許從0到 T /2到0到 T /4的積分間隔縮短。

即將到來

截至目前，您應該更好地了解傅立葉系數和可能發生的不同類型的對稱性。這五種類型，偶數，奇數，半波，四分之一波半波甚至四分之一波半波都用于簡化傅立葉系數的計算。下面將介紹的一些主題將深入探討傅立葉級數的線性電路的穩態響應，周期函數的平均功率計算，以及此類周期函數的均方根值。