鋰電池是目前在各個(gè)能源密集型行業(yè)中用途廣泛，例如新能源汽車、電力微網(wǎng)、航空航天等。電池模型的建立對(duì)研究電池的特性、SOC（state-of-charge）估計(jì)、SOH（state-of-health）估計(jì)、BMS算法開(kāi)發(fā)以及電池系統(tǒng)的快速實(shí)時(shí)仿真有重要的意義。

等效電路建模，由于其簡(jiǎn)單適用性，常常應(yīng)用在在系統(tǒng)級(jí)仿真和控制算法設(shè)計(jì)過(guò)程中。通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集、等效電路模型建立和數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，用相對(duì)簡(jiǎn)單的RC等效電路可以模擬一個(gè)電芯。若干電芯模型通過(guò)不同類型的并串聯(lián)方法，形成電池包模型。在電池包模型內(nèi)，也可加入熱電效應(yīng)仿真。

在上圖中，10 個(gè)電芯以 10S1P 的形式形成一個(gè)電池包（此處工具為 Simscape）。藍(lán)色的線表示電線連接，橙色的表示熱交換連接。在圖中電芯之間的熱交換形式為熱對(duì)流。

電芯的模型為下圖所示：R0 表示內(nèi)阻，R1C1 表示一對(duì) RC，左邊的電壓源表示開(kāi)路電壓（Em）。由于只有一對(duì) RC，所以這是一階等效電路。

上圖表明，通過(guò)在一個(gè)不斷充放電的工況下的仿真，我們發(fā)現(xiàn)電芯 5 和電芯 6 有較高的溫度，而電芯 1 和電芯 10 溫度較低。原因是在串聯(lián)結(jié)構(gòu)中，位置處于中間的電芯散熱較差，而處于邊緣的電芯散熱較好。

鋰電池的型號(hào)多種多樣，比如鎳鈷錳三元材料 (NMC)、磷酸鐵鋰 (LFP) 等。每種電池的化學(xué)特征決定了各自不同的等效電路特征。等效電路的特征由如下兩個(gè)要點(diǎn)決定：

RC 的階數(shù)

R0 、RC 和 Em 的數(shù)值

下一節(jié)中我們將討論如何獲取（估計(jì)）上述兩個(gè)要點(diǎn)數(shù)值。

鋰電池的老化對(duì)模型的影響也是電池模型研究的方向之一。找出模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和模型參數(shù)的改變趨勢(shì)，對(duì)于 SOH 的估計(jì)有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。本文將在第四章中討論電池老化對(duì)電池模型的影響。

被動(dòng)均衡也是電池管理系統(tǒng)（BMS）的研究熱點(diǎn)之一，文末我們將給出一個(gè)被動(dòng)均衡的示例供讀者參考。

RC 等效電路的參數(shù)設(shè)計(jì)

脈沖放電法

RC 等效電路有物理意義的前提是電路中所有 RC 對(duì)和 R0 都必須完整地“經(jīng)歷過(guò)”一個(gè)放電周期。 右下圖所示的 RC 等效模型中，R0 表示一個(gè)放電循環(huán)中的“立即響應(yīng)”，RC 對(duì)表示一個(gè)放電循環(huán)中的“滯后相應(yīng)”。左下圖表示脈沖放電以及開(kāi)路電壓（Em）的回穩(wěn)過(guò)程。 可以看到，在一個(gè)脈沖放電后，電芯通過(guò)“立即相應(yīng)”和“滯后響應(yīng)”再靜置一段時(shí)間后得到的穩(wěn)定的開(kāi)路電壓。通常來(lái)說(shuō)靜置時(shí)間為 1 小時(shí)以上為佳。

脈沖放電的一個(gè)脈沖使得 10%（一個(gè)比較合適的百分比）的 SOC 下降，靜置等待開(kāi)路電壓回穩(wěn)。此處，10% SOC 的下降為一個(gè)估計(jì)值，假設(shè)一個(gè)電池容量為 100mAH，那么我們放電 10% 即 10mAH，如果放電倍率為 1C，分 10 次放完。那么單個(gè)脈沖放電時(shí)間為 1 小時(shí) * 10% = 6 分鐘。

如此重復(fù)多次（避免 SOC 為極限低點(diǎn)而損害電池），得到完整的脈沖放電曲線，我們就可以得出 RC 對(duì)、R0 和 Em 估計(jì)所需要的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

在某一溫度下完整的放電曲線

由于鋰電池對(duì)溫度敏感，上述放電實(shí)驗(yàn)可以在多個(gè)溫度下進(jìn)行。加入溫度的影響后，建模的任務(wù)就是要根據(jù)多個(gè)溫度下放電數(shù)據(jù)，估計(jì)出 R0，RC 和 Em。它們?cè)谀Ｐ偷谋憩F(xiàn)形式均是一個(gè)二維的 Look-Up Table。

R0, R1, C1, Em = f(SoC, T)

電池模型參數(shù)估計(jì)的步驟

步驟一：確定RC 階數(shù)

很多人理解為，RC 階數(shù)越多越準(zhǔn)確。這個(gè)是錯(cuò)誤的觀點(diǎn)，因?yàn)檫^(guò)多的 RC 階數(shù)會(huì)讓數(shù)學(xué)優(yōu)化過(guò)程變得計(jì)算量過(guò)大；也有可能會(huì)造成過(guò)擬合現(xiàn)象，即將數(shù)據(jù)中的噪聲數(shù)據(jù)也擬合出來(lái)。這樣的數(shù)學(xué)模型沒(méi)有意義。

正確的 RC 階數(shù)取決于：放電靜置回穩(wěn)后的那段指數(shù)曲線。

由于 RC 之積 Tau 的單位為時(shí)間。線段的長(zhǎng)度為時(shí)間。該線段的函數(shù)表達(dá)式為：

如果為一個(gè)三階函數(shù)，我們可以用 MATLAB 的曲線擬合工具箱去擬合：

y = 1c - a*exp(-b*x) - d*exp(-e*x) - f*exp(-g*x)

有了這個(gè)基本思路，我們就可以從一階開(kāi)始逐步用 MATLAB 做曲線擬合，直至符合要求為止。

步驟二：構(gòu)建參數(shù)估計(jì)模型（基于某一溫度）

根據(jù)上一小節(jié)的原則確定模型階數(shù)以后，我們可以用 Simulink/Simscape 來(lái)構(gòu)建電芯參數(shù)估計(jì)模型。此處 C1、R1、R0、Em 都是基于 SOC 的 Look-Up Table。

步驟三：參數(shù)估計(jì)和驗(yàn)證

參數(shù)估計(jì)的輸入為某一溫度下的放電數(shù)據(jù)，輸出為 Em、RC、R0 等參數(shù)的 Look-Up Table（一維）。

Simulink Design Optimization 可以根據(jù)輸入數(shù)據(jù)，選擇不同的算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，目的是仿真曲線和實(shí)驗(yàn)曲線誤差最小。

參數(shù)估計(jì)有幾種優(yōu)化算法可選：

Gradient descent

Non-linear least squares

Pattern search

Simplex search

其中 Non-linear least squares 比較常用，但容易找到非全局優(yōu)化點(diǎn)。Pattern search 為全局優(yōu)化，適合初學(xué)者。

在參數(shù)估計(jì)結(jié)束之后，可以做實(shí)際工況數(shù)據(jù)對(duì)模型的驗(yàn)證工作。所謂驗(yàn)證就是用實(shí)際的電池運(yùn)行數(shù)據(jù)（同一溫度下）來(lái)校驗(yàn)得到的等效模型。如果誤差很小，那么表示該模型真實(shí)可用。例如：下圖的黃色（仿真）和紫色（實(shí)測(cè)）的數(shù)據(jù)基本一致。

很多人抱怨在參數(shù)估計(jì)中由于計(jì)算量過(guò)大，導(dǎo)致運(yùn)行速度很慢，這里給出兩個(gè)小技巧可顯著加快估計(jì)速度：

選擇并行多核加速

打開(kāi)“Fast Restart”開(kāi)關(guān)

步驟四：在多個(gè)溫度下建立電芯模型

剛才我們的等效電路模型中，RC、R0、Em 等經(jīng)過(guò)參數(shù)估計(jì)，得出的實(shí)際上是一維的 Look-Up Table（維度為SOC），那么我們可以通過(guò)設(shè)計(jì)多個(gè)溫度下（例如 5、20、40 攝氏度）的：

脈沖放電實(shí)驗(yàn)

參數(shù)估計(jì)

將“溫度”這個(gè)緯度加入到等效電路中，最終形成二維的 Look-Up Table。即完整的具有溫度和 SOC 屬性的電芯模型。

R0, R1, C1, Em = f(SoC, T)

步驟五：形成電池包模型

在單個(gè)電芯模型建立完成后，可通過(guò)不同的串并聯(lián)線路將電芯形成電池包模型。電池包模型可以用來(lái)仿真熱效應(yīng)、電芯均衡或者其他應(yīng)用場(chǎng)景。

電池老化對(duì)電池模型的影響

老化對(duì)電池的影響不可忽視，老化的影響應(yīng)該被反映到電池模型。為了研究這一課題，MathWorks 和其他廠商的工程師設(shè)計(jì)了為期 13 個(gè)月的老化實(shí)驗(yàn)：

為了加速老化過(guò)程，工程師選擇在 40 度的溫度下做 UDDS 的駕駛循環(huán)測(cè)試，每隔 15 星期記錄下變化的數(shù)據(jù)，并做等效模型的建立和參數(shù)估計(jì)，試圖通過(guò)這一過(guò)程發(fā)現(xiàn)模型拓?fù)浜蛥?shù)變化的規(guī)律。

電路拓?fù)涞淖兓?/p>

0 周時(shí)候的電路拓?fù)?/p>

15、45 周時(shí)候的電路拓?fù)?/p>

實(shí)驗(yàn)顯示：在電池未老化的時(shí)候（0 周），用 3 階等效電路模型可以反映電池特性。

在電池老化后期，用 5 階等效電路模型可以反映電池特性。

電池參數(shù)的變化

實(shí)驗(yàn)顯示，電池老化對(duì)等效電路參數(shù)的影響為：

開(kāi)路電壓不變

R0 變化很大

RC 對(duì)數(shù)增加

Tau 增加（趨于穩(wěn)態(tài)時(shí)間增長(zhǎng)）

BMS 設(shè)計(jì)者如果能在控制器中建立一個(gè)內(nèi)部的電池模型，通過(guò)參數(shù)規(guī)律和數(shù)值的估計(jì)，將有助于 SOH 的估計(jì)策略。

被動(dòng)均衡模型示例

均衡策略是 BMS 的一部分，目前實(shí)際應(yīng)用較多的是被動(dòng)均衡策略。

上圖給出了一個(gè)被動(dòng)均衡的示例模型，三個(gè)電芯組成的電池包在狀態(tài)機(jī)（Stateflow）的邏輯驅(qū)動(dòng)下控制 MOSFET 電路開(kāi)關(guān)對(duì)各個(gè)電芯進(jìn)行電壓均衡。

MathWorks有能力為廣大電池（或 BMS）企業(yè)提供各種咨詢服務(wù)，咨詢服務(wù)可包括：BMS 開(kāi)發(fā) MBD 咨詢、電池模型建立咨詢、流程改進(jìn)咨詢（以 ISO26262 為例）。