用雙線性變換法設計IIR濾波器
一、實驗目的
1、了解兩種工程上最常用的變換方法：脈沖響應不變法和雙線性變換法。
2、掌握雙線性變換法設計IIR濾波器的原理及具體設計方法，熟悉用雙線性設計法設計低通、帶通和高通IIR數字濾波器的計算機程序。
3、觀察用雙線性變換法設計的濾波器的頻域特性，并與脈沖響應不變法相比較，了解雙線性變換法的特點。
4、熟悉用雙線性變換法設計數字Butterworth和Chebyshev濾波器的全過程。
5、了解多項式乘積和多項式乘方運算的計算機編程方法。
二、實驗原理與方法
從模擬濾波器設計IIR數字濾波器具有四種方法：微分-差分變換法、脈沖響應不變法、雙線性變換法、匹配z變換法；在工程上常用的是其中兩種：脈沖響應不變法、雙線性變換法。脈沖響應不變法需要經歷如下基本步驟：由已知系統傳輸函數H(s)計算系統沖激響應h(t)；對h(t)進行等間隔取樣得到h(n)=h(nT)；由h(n)獲得數字濾波器的系統響應H(z)。這種方法非常直觀，其算法宗旨是保證所設計的IIR濾波器的脈沖響應和響應模擬濾波器的沖激響應在采樣點上完全一致。而雙線性變換法的設計準則是使數字濾波器的頻率響應與參考模擬濾波器的頻率響應相似。
脈沖響應不變法一個重要的特點是頻率坐標的變換是線性的（ω=ΩT），其缺點是有頻譜的周期延拓效應，存在頻譜混淆的現象。為了克服脈沖響應不變法可能產生的頻譜混淆，提出了雙線性變換法，它依靠雙線性變換式：建立起s平面和z平面的單值映射關系，數字頻域和模擬頻域之間的關系：
)2/(ωtg=Ω Ω=arctg2ω （3-1）
由上面的關系式可知，當Ω時，ω終止在折疊頻率ω=π處，整個jΩ軸單值地對應于單位圓的一周。因此雙線性變換法不同于脈沖響應不變法，不存在頻譜混淆的問題。從式（2-1）還可以看出，兩者的頻率不是線性關系。這種非線性關系使得通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率的相對位置都發生了非線性畸變。這種頻率的畸變可以通過預畸來教正。用雙線性變換法設計數字濾波器時，一般總是先將數字濾波器的各臨界頻率經過式（2-1）的頻率預畸，求得相應參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設計參考模擬濾波器的傳遞參數，最后通過雙線性變換式求得數字濾波器的傳遞函數。這樣通過雙線性變換，正好將這些頻率點映射到我們所需要的位置上。參考模擬濾波器的設計，可以按照一般模擬濾波器設計的方法，利用已經成熟的一整套計算公式和大量的歸一化設計表格和曲線。這些公式、表格主要是用如果于歸一化低通原型的。通過原型變換，可以完成實際的低通、帶同和高同濾波器的設計。在用雙線性變換法設計濾波器的過程中，我們也可以通過原型變換，直接求得歸一化參考模擬濾波器原型參數，從而使得設計更加簡化。下表是IIR低通、帶通、高通濾波器設計雙線性原型變換公式的總結。