為了使控制系統能可靠地工作，不但要求它能穩定，而且還希望有足夠的穩定裕量，使系統在環境發生變化或存在干擾的情況下仍能工作，這即為相對穩定性的概念。

在討論系統的穩定裕量時，首先要假定開環系統是穩定的，是最小相位系統，即開環系統的零、極點均僅位于s的左半平面，否則討論系統的穩定裕量是無意義的。

為了說明相對穩定性的概念，圖5－49為一典型的I型系統 曲線，其開環系統的傳遞函數為： 。根據奈氏判據可知，當 時，系統不穩定，奈氏曲線包圍（－1，j0）點；當 時，系統產生等幅振蕩，奈氏曲線經過（－1，j0）點；當 時，系統穩定，奈氏曲線不包圍（－1，j0）點。因此直觀地看，對于開環穩定的系統，要求閉環系統有一定的穩定性，不僅要求 的幅頻特性不包圍（－1，j0）點，而且應與該點有一定的距離，即有一定的穩定裕量。

衡量閉環系統相對穩定性的具體指標有幅值裕量 和相位裕量 。在Matlab中，相應地有專門的函數來求取上述指標：Margin。具體用法參見下面的例子。

5.5.1 用奈氏圖表示相位裕量和幅值裕量

1、 相位裕量

設一開環穩定的系統的奈氏曲線 負實軸相交于G點，與單位圓相交于C點，如圖5－50。對應于 時的頻率 （交點C）稱為增益穿越頻率，又稱剪切頻率或交界頻率。在剪切頻率 處，使系統達到臨界穩定狀態時所能接受的附加相位遲后角，定義為相位裕量，用 表示之。對于任何系統，相位裕量 的算式為

(5-54)

式中， 是開環頻率特性在剪切頻率 處的相位。

不難理解，對于開環穩定的系統，若 ，表示 曲線包圍（－1，j0）點，相應的閉環系統是不穩定的；反之，若 ，則相應的閉環系統是穩定的。一般 越大，系統的相對穩定性也就越好。因為系統的參數并非絕對不變，如果 太小，就有可能因參數的變化而使奈奎斯特曲線包圍（－1，j0）點，即導致系統不穩定。

2、 幅值裕量

幅值裕量是系統相對穩定性的另一度量指標。如圖5－50所示，開環頻率特性的相角 時的頻率 （交點G）處， 稱為相位穿越頻率，又稱為相位交界頻率。開環幅值 的倒數稱為增益裕量，用 表示。即

(5-55)

上式表示系統在變到臨界穩定時，系統的增益能增大多少。

由奈奎斯特穩定判據可知，對于最小相位系統，其閉環穩定的充要條件是 曲線不包圍（－1，j0）點，即 曲線與其負實軸交點處的模小于1，此時對應的 。反之，對于不穩定的系統，其 ，如圖5－51所示，閉環系統是不穩定的。

5.5.2 用伯德圖表示相位裕量和幅值裕量

上述的相位裕量和幅值裕量也可在對數幅相圖（Bode圖）上表示。對應于圖5－50，其Bode圖如圖5－52所示。圖5－50中的增益穿越頻率 對應于圖5－52的零分貝線上的點，即開環對數幅頻特性曲線與 軸的交點；圖5－50中相位穿越頻率 的點在Bode圖上是對應相角 的點，即相頻曲線與 水平線的交點。從圖5－50可見，相頻特性曲線上對應于增益穿越頻率 的點位于 水平線的上方。

在Bode圖上，增益裕量常用分貝數表示，即

上式表示系統在到達臨界穩定前，允許系統增益增大的倍數。對于穩定的系統，由于 ＜1，即 為負，由式（5－56）可知，增益裕量為正，這時對數幅頻特性曲線上對應 的點在 軸下方，如圖5－52；當系統不穩定時，相應地，可將圖5－51繪制在Bode圖上，如圖5－53，這時相位裕量和幅值裕量均是負的。

增益裕量和相位裕量通常作為設計控制系統的頻域性能指標。大的增益裕量和相位裕量表明控制系統是非常穩定的，但此時控制系統的響應速度將是非常慢的，而當增益裕量接近1或相位裕量接近零時，則對應一個高度振蕩的系統。因此從工程的角度出發，一般控制系統設計時采用如下的裕量范圍是比較合適的： 在 到 之間，增益裕量大于6dB。

同時需要指出，單獨使用增益裕量或相位裕量作性能分析，都不足以說明系統的相對穩定性，必須同時給出這兩個穩定裕量。對于大多數控制系統來說，這兩個指標是統一的，但有時情況并非如此，圖5－54a、圖5－54b分別表示了這兩種情況下的頻率特性。

例5－10　試求：（1）K＝1時系統的相位裕量和增益裕量。（2）要求通過增益K的調整，使系統的增益裕量 ，相位裕量 。

例5－10　試求：（1）K＝1時系統的相位裕量和增益裕量。（2）要求通過增益K的調整，使系統的增益裕量 ，相位裕量 。

已知一單位反饋系統的開環傳遞函數為

解　　（1）基于在 處的開環頻率特性的相角為

即

由三角函數的性質，有

求得 。

同時，在 處的開環對數幅值為

則

根據K＝1時的開環系統傳遞函數，可知系統的 ，從而

此小題也可用Matlab直接求解。

g=tf(1,conv([1,0],conv([0.2,1],[0.05,1])))

Transfer function:
1
-----------------------
0.01 s^3 + 0.25 s^2 + s

margin(g)

（2）由題意得 ，即 。在 處的對數幅值為

上式簡化后為

解之得，K＝2.5。

　　根據 的要求，則得

即

利用三角函數的性質，可求得 。于是有

即

求解上式得 。不難看出，K取2.5就能同時滿足 和 的要求。

5.5.3 對數幅頻特性中頻段與系統動態性能的關系

在分析控制系統的開環對數幅相頻率特性時，習慣上將頻率范圍分為三個頻段：低頻段、中頻段和高頻段。其中低頻段反映了控制系統的靜態特性，關于此點在5.3.4中我們作了分析；中頻段則反映了系統的動態特性，這是控制設計中一個非常關心的問題，這將在下面作介紹；高頻段則主要反映了系統的抗干擾能力，對動態性能影響不大，將不作介紹。

中頻段的主要參數有：剪切頻率 、相位裕量 和中頻寬度h。對于圖5－56所示系統，其中頻寬度一般定義在斜率等于 、靠近 處：

(5-57)

一般要求最小相位系統的開環對數幅頻特性在 處的斜率等于 。如果在該處的斜率等于或小于為 ，則對應的系統可能不穩定，或者系統即使穩定，但因相位裕量較小，系統的穩定性也較差。下面通過二階系統和三階系統對上述結論進行說明。

設一標準二階系統的開環傳遞函數為：

式中，自然振蕩頻率 ，阻尼比 ，其中 為轉角頻率，則：

（1） 當 時， ，如圖5－57a示，階躍響應是衰減較慢的振蕩過程；

（2） 當 時， ，如圖5－57b示，階躍響應是衰減較快的振蕩過程；

（3） 當 時， ，如圖5－57c示，階躍響應是接近無振蕩的非周期過程；

再設一個三階系統的開環傳函數為：

取K＝0.1，1,10,100，得到如圖5－58的幅頻曲線a，b，c，d。由圖可見。當 時，式（5－59）的對數幅頻特性曲線如圖5－58所示的曲線 。剪切頻率 在斜率為 的區段內，對照圖5－58下部的相頻特性曲線可知，相位裕量為 ，因此閉環系統是穩定的。若開環放大系數K值減小，則對數幅頻特性曲線向下垂直移動。這時剪切頻率 向左移動[注意，K變化時，系統的相頻特性曲線 不變。由圖5－58可知，相位裕量 將增大。當剪切頻率 移至斜率為 的區段內時，相位裕量 將更大，如圖5－58的曲線b所示。反之，增大開環放大系數K，剪切頻率 將向右移動，相位裕量 將減小，當 移至 時（ 為相位穿越頻率）， ，閉環系統處于臨界穩定。當 時， ，這時對數幅頻特性曲線的中頻段斜率仍為 ，如圖5－58曲線c所示。因這時 為負值，所以閉環系統已不穩定了。如果開環放大系數K繼續加大，使剪切頻率 落在對數幅頻特性曲線斜率為 的區段內，如圖5－58曲線b所示。這時相位裕量 “負”得更歷害，系統將更加不穩定。

根據上述分析，可得到如下結論：為使閉環系統穩定且系統的階躍響應無超調量或或超調很小，應使剪切頻率 位于斜率為 的線段上，同時要有一定的中頻寬度，中頻段越寬，則階躍響應越接近非周期過程。